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1、喀左高中2007高二数学竞赛试卷参考答案 一、选择题B.2.若数列满足(为正常数,),则称为“等方比数列”.甲:数列是等方比数列;乙:数列是等比数列,则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案:选B解析:由等比数列的定义数列,若乙:是等比数列,公比为,即则甲命题成立;反之,若甲:数列是等方比数列,即即公比不一定为,则命题乙不成立,故选B点评:本题主要考察等比数列的定义和创新定义的理解、转换。要是等比数列,则公比应唯一确定。开始?是否输出结束易错点:
2、本题是易错题。由,得到的是两个等比数列,而命题乙是指一个等比数列,忽略等比数列的确定性,容易错选C.4.D5.如果执行右面的程序框图,那么输出的( )A.2450B.2500C.2550D.2652【答案】:C【分析】:由程序知,6.B7.若a是1+2b与1-2b的等比中项,则的最大值为()第7页共7页A.B.C.D.【答案】:B【分析】:a是1+2b与1-2b的等比中项,则8.已知两个等差数列和的前项和分别为A和,且,则使得为整数的正整数的个数是()A.2B.3C.4D.5答案:选D解析:由等差数列的前项和及等差中项,可得,故时,为整数。故选
3、D点评:本题主要考察等差数列的性质,等差中项的综合应用,以及部分分式法,数的整除性是传统问题的进一步深化,对教学研究有很好的启示作用。易错点:不能将等差数列的项与前项和进行合理转化,胡乱选择。9.A11.D12.D二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.)13.已知f(x)是定义在R上的函数,f(1)=1且对任意x∈R都有第7页共7页f(x+5)≥f(x)+5f(x+1)≤f(x)+1若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=。解:由g(x)=f(x)+1-x得f(x)=g(x)+x-1∴g(x+5)+(x+
4、5)-1≥g(x)+(x-1)+5g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+(x-1)+5∴g(x+5)≥g(x),g(x+1)≤g(x)∴g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1)≤g(x)∴g(x+1)=g(x)∴T=1∵g(1)=1∴g(2002)=114、设无穷数列的各项都是正数,是它的前项之和,对于任意正整数,与2的等差中项等于与2的等比中项,则该数列的通项公式为.8,N*).由题意知,即.…①由得,从而.又由①式得,…②于是有,整理得.因,故,所以数列是以为首项、为公差的等差数列,其通项公式为,即.故
5、填N*).15.函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为_______.【答案】:8。【分析】:函数的图象恒过定点,,,,第7页共7页16.三、解答题;(共6小题,计74分)17,(04广东)已知成公比为2的等比数列(),且也成等比数列。求的值。解:∵α,β,γ成公比为2的等比数列,∴β=2α,γ=4α∵sinα,sinβ,sinγ成等比数列当cosα=1时,sinα=0,与等比数列的首项不为零,故cosα=1应舍去,18.2,(05湖北)在中,已知,,AC边上的中线BD,求的值。设E为BC的中点,连结DE,则DE//AB,且,设,有
6、,得或(舍去),有BC=2。从而=,得。又,而,于是。图119.(2001年上海高考题)对任意函数,可按图1构造一个数列发生器,其工作原理如下:①输入数据,经数列发生器输出;第7页共7页②若,则数列发生器结束工作;若,则将反馈回输入端,再输出,并依此规律继续下去。现定义。(I)若输入,则由数列发生器产生数列{},请写出数列{}的所有项;(II)若要数列发生器产生一个无穷的常数列,试求输入的初始数据的值;(III)(理)若输入时,产生的无穷数列{}满足:对任意正整数,均有,求的取值范围。分析:本题以“循环语句”结合流程图的形式,说明了如下事实:已知
7、函数及其定义域D,若数列中的某一项,则按即继续产生数列中的项,否则结束任务。此题以计算机语言为载体,给出了数列的递推关系。解:(1)因为的定义域D=(-∞,-1)∪(-1,+∞),所以数列{}只有三项:,,。(2)因为,即,所以或。即当或2时,。故当时,;当时,。(3)解不等式,得或,要使,则或。对于函数,若,则,。若,则且,依此类推,可得数列{}的所有项均满足,此时。综上所述,的取值范围是(1,2)。20.已知满足不等式组,求使取最大值的整数.第7页共7页解:不等式组的解集为三直线:,:,:所围成的三角形内部(不含边界),设与,与,与交点分别为
8、,则坐标分别为,,,作一组平行线:平行于:,当往右上方移动时,随之增大,∴当过点时最大为,但不是整数解,又由知可取,当时,代入原不等式组