2017年全国高中数学联赛模拟题9

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1、72017年全国高中数学联赛模拟题9一试考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分一、填空题（共8题，每题8分，64分）1、是周期为5的奇函数，，则。2、设函数，若表示不大于的最大整数，则函数的值域是。3、,为多项式的根，则1234567…35791113…812162024…20283644…486480…112144…………4、如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行的相邻两个数的和写在这两数的正中间的下方得到下一行，数表从左到右、从上到下无限。则2000在表中出现次。5、已知二次函数，若对于上的

2、任意三个实数，函数值都能构成一个三角形的三边长，则满足条件的的值可以是。6、若，则。123456787、如图从第一格跳到第8格，规定每次只能跳一格或者2格，则不同的跳格方法总数为。8、等比数列中，，函数，则函数在处的切线方程为。二、解答题（共3题，共56分）9、（本题16分）如图，已知O为的外心，角A、B、C的对边，且满足。（1）推导出三边之间的关系式；（2）求的值。10、（本题20分）设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

3、11、（本题20分）已知函数，，定义，偶函数的定义域为，当时，。（1）求；（2）若存在实数使得该函数在上的最大值为，最小值为，求非零实数的取值范围。第7页72017年全国高中数学联赛模拟题9（二试）9：40~12：10共150分钟满分180分平面几何、代数、数论、组合1、（本题40分）设△的外接圆、内切圆半径分别为、．外心到重心的距离为，内心到重心的距离为．求证：．2、（本题40分）数列满足：，（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列中的任两项互质。（3）记，为数列的前项和，求的整数部分；3、（本题50分）求证不等式：，，2，…4、

4、（本题50分）求满足的最小正整数第7页72017年全国高中数学联赛模拟题9参考答案一试1、8，2、{0，1}。解：由已知得3、－1，设为多项式的所有正根，由韦达定理有变形为代入得结合得4、解：由数表推得，每一行都是等差数列，第n行的公差为，记第n行的第m个数为,则算得答案为4。5、内的任一实数。解：由题意当时，；当时，不存在；当时，，不存在；当时，，所以这时；当时，，所以这时；综上所述。6、0解：原方程可化为考虑单调性7、完成从第一格到第7格，每次跳一格，要跳7次才能完成。有次跳1格，次跳2格，则第7页7当时，有种跳法；当时，有种跳

5、法当时，有种跳法；当时，有种跳法共有种跳法8、，则切线斜率9、解:（1）取AB、AC的中点E、F，则同理；所以（2）10、由消去化简整理得设，，则①由消去化简整理得设，，则②因为，所以，此时．由得．所以或．由上式解得或．当时，由①和②得．因是整数，所以的值为，，，，，，．当，由①和②得．因是整数，所以，，．于是满足条件的直线共有9条．11、解：（1）因为…设，所以…图象如右：（2）因为；又因为，所以（否则，矛盾）第7页7当所以有两个不同实根，综上所述。二试1、证：设点为平面上任意一点，为△重心，则．∴．设，，，则．当为外心时，．即．

6、当为内心时，．如图，内切圆切三边于、、，设，，．而，从而．∴．要证，只要证．而，，．第7页7∴．所以只要证：．只要证：．此式显然成立．2、（1）解：因为当也成立，所以；（2）因为所以，因为为奇数，所以对任意的（3）解：因为，所以，又因为，所以，所以，所以的整数部分为1。3、证明：首先证明一个不等式：⑴，．事实上，令，．则对，，．于是，．在⑴中取得⑵．令，则，因此．又因为．从而．4、解：设，，则第7页7易知,故由，故可设由，下证当时，上式显然成立假定时，有，则当时易知,以及则≥≥从而使的最小正整数为第7页