南开大学微观经济学(内部资料倾情回赠)

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1、第二章需求分析本章开始谈价格怎么配置资源的，即怎么影响消费选择。一、需求函数（一）瓦尔拉斯需求函数商品需求定义：预算集中的效用最大化的解X*，反映与P与W的关系称为需求函数，表示成。例子：设效用函数为：，，求需求函数。建立函数：一阶条件为：，直接推导代入，得到：；令，则有：，需求函数的三个性质（1）在价格和收入上，需求函数是零次齐次的：即对于任给，和满足,有经济含义是：如果价格和收入以同一比例变化，则消费者的需求数量保持不变。（2）瓦尔拉斯法则：任给有经济含义：消费者会在有生之年用光他的全部资源（财富）。（3）凸性和唯一性。如果是拟凹的，则是一个凸集。思考如何证明。若是严格拟凹

2、的，则只包含单一的元素。（二）间接效用函数定义：，即需求函数代入原效用函数。例子：；s.t.构造拉格朗日函数：一阶条件：(1)；(2)(3)(4)或（5）将（5）代入（3）将（4）代入（3）∴，然后求解间接效用函数：将需求函数代入目标函数：∴（仍然用P，W表示）其中：。间接效用函数的意义：控制消费者的消费行为实际上可以由控制价格p与控制收入w来实现。间接效用函数的性质：（1）零齐次的，价格和财富同比例变动不影响效用；（2）在上是严格递增的，并且对于任意，它在上都是非递增的，即价格上升降低效用，财富上升增加效用；证明：可以使用包络定理包络定理：最优点对a的偏导数等于目标函数对a的

3、偏导数；注意：（3）拟凸的，就是说对于任意,集合｛｝是凸集；（4）在和上是连续的。（三）罗伊等式反映了瓦尔拉斯需求函数与间接效用函数的关系：，。实际上就是两个决定要素（P，W）的边际效用之比。利用包络定理证明：两式相除即得罗伊等式。例子：，，习题：试根据间接效用函数，求相应的需求函数。一个间接效用函数在税收中应用例子。设一个消费者的效用函数为：，一阶条件：；；；。若假定，，考虑两种不同的征税方案：（1）政府征0.5元的所得税（降低收入），，（2）政府仍征0.5元的税，但对商品1开征消费税（提高商品价格）。若每单位商品1征税为0.25元，则；这个例子为我们展示了一个政策分析框架：

4、二、支出函数与对偶性原理（一）支出最小化问题与支出函数消费者为达到一个效用水平u，如何选择商品x，使之需要的财富支出最小。即有效率的利用消费者的购买力。所谓支出最小化问题（expenditureminimizationproblem，EMP）即：解得：1．定义：支出函数为支出最小化问题的解，即在价格给定条件下消费者为达到效用而支付的最小支出。2.支出函数的一个例子。,,一阶条件为：（1）；（2）；（3）或分别代入得：，带入目标函数得：其中。2．支出函数的性质：（1）对p是一次齐次的；（2）对p是非递减的；（3）是关于p的凹函数；（4）当p>0时，为连续函数。证明：（1）最小化将

5、导出与最小化相同的最优消费束，即：（2）根据包络定理，，故支出函数对p是非递减的；（3），设x2为价格p2时达到效用u的一个最优消费束。=（4）连续性证明。（二）希克斯需求函数（Hicksdemandfunction）1．定义：EMP中的解为最优消费束，表示为，并且存在谢伯特（Shephard）定理：证明：在处有。利用包络定理可得：2．希克斯需求函数的性质（1）是p的零次齐次函数；（2）是p的单调递减函数；（3）如果可微，则有：，（2）证明：，因为支出函数为凹函数，故，即（3）证明：，根据young定理，，即（三）对偶定理前提：若效用函数是严格单调和连续的，且消费者效用最大化和

6、支出最小化问题均有解，则：1.瓦尔拉斯2.希克斯3.支出函数4.间接效用函数上述四个关系式中，最重要，其意义为希克斯需求与瓦尔拉斯需求指的是同一件事。需求既可用效用最大化解表示，也可用支出最小化解表示。思考：实证研究应该使用哪种需求？习题：设某消费者的间接效用函数为，且，求。三、需求弹性弹性：（一）需求价格弹性（priceelasticityofdemand）1.定义：习题：计算需求的价格弹性，其中需求函数为2.由弹性决定的商品分类奢侈品(luxury)：；必需品(necessity)：3.由弹性定义的收入与价格变动的关系。根据E判断价格p与消费者购买商品支出之间的关系。：；；

7、在需求价格弹性基础上可以定义需求交叉价格弹性（cross-priceelasticityofdemand）（二）古诺合并条件自身的需求价格弹性à需求交叉价格弹性，两边同时对求导有，两边同时乘得到：；意义：已知自身的需求价格弹性，则可以由此条件来确定需求交叉价格弹性。下面我们再看希克斯需求函数的需求价格弹性和交叉价格弹性。若效用不变（f(x1,x2)=u;du=0），两边同时除以有；两边同时乘得到，即注意：对于希克斯需求函数，古诺合并条件不成立。（三）需求的收入弹性与恩格尔合并条件正常品：时商