第二章 随机变量及其分布

《第二章 随机变量及其分布》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第二章随机变量及其分布基本概念：随机变量、分布律、分布律的性质、二项分布、二项分布的性质、泊松分布、分布函数、分布函数的性质、密度函数、密度函数的性质、指数分布、正态分布、正态分布的性质。（1）离散型随机变量的分布律设离散型随机变量的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk，k=1,2,…，则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：。显然分布律应满足下列条件：（1），，（2）。（2）分布函数设为随机变量，是任意实数，则函数称为随机变量X的

2、分布函数，本质上是一个累积函数。可以得到X落入区间的概率。分布函数表示随机变量落入区间（–∞，x]内的概率。分布函数具有如下性质：1°；2°是单调不减的函数，即时，有；3°，；4°，即是右连续的；5°。对于离散型随机变量，；对于连续型随机变量，。（3）连续型随机变量的分布密度设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有，则称为连续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面4个性质：1°。2°。（5）八大分布0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q二项分布在重贝努里试验中，设事件

3、发生的概率为。事件发生的次数是随机变量，设为，则可能取值为。，其中，则称随机变量服从参数为，的二项分布。记为。当时，，，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量的分布律为，，，则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或者P()。泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。超几何分布随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。几何分布，其中p≥0，q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。均匀分布设随机变量的值只落在[a，b]内，其密度函数在[

4、a，b]上为常数，即 a≤x≤b其他，则称随机变量在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。分布函数为 a≤x≤b0，xb。 当a≤x1

5、为标准正态分布，记为，其密度函数记为，，分布函数为。是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝。如果~，则~。。（6）分位数下分位表：；上分位表：。（7）函数分布离散型已知的分布列为 ，的分布列（互不相等）如下：，若有某些相等，则应将对应的相加作为的概率。连续型先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。典型例题：1、有1000件产品，其中900件是正品，其余是次品.现从中每次任取1件，有放回地取5件，试求

6、这5件所含次品数的分布列.2、设随机变量的分布密度为p（x）＝，求：（1）常数a；　　　　　（2）P（＞3）.3、已知随机变量的分布列为，（1）求＝2－的分布列；　（2）求＝3＋2分布列.4、设服从N（5，3），求P（＜10），P（）.5、某工厂生产的一批零件，合格率为95%，今从中抽取100件，试求下列事件的概率：（1）被检验的100件中恰好有4件不合格品；（2）不合格的件数不少于4件；（3）不合格的件数在4到6之间.6、已知随机变量的分布密度为＝，且＝2－，试求的分布密度.7、设随机变量服从（-2，２）上的均匀分布，

7、求随机变量的概率密度函数为.2.1下列给出的是不是某个随机变量的分布列？(1)(2)(3)(4)解（1）是（2），所以它不是随机变量的分布列。（3）,所以它不是随机变量的分布列。（4）为自然数，且，所以它是随机变量的分布列。2.2设随机变量的分布列为：，求(1);(2)；(3)。解(1);(2);(3).2.3解设随机变量的分布列为。求的值。解，所以。2.4随机变量只取正整数，且与成反比，求的分布列。解根据题意知，其中常数待定。由于，所以，即的分布列为，取正整数。2.5一个口袋中装有个白球、个黑球，不返回地连续从袋中取球

8、，直到取出黑球时停止。设此时取出了个白球，求的分布列。解设“”表示前次取出白球，第次取出黑球，则的分布列为：2.6设某批电子管的合格品率为，不合格品率为，现在对该批电子管进行测试，设第次为首次测到合格品，求的分布列。解2.7一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只球，以表示取出球的取大