一次同余式解法的综述

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1、一次同余式的解法的综述陈明丹（华南师范大学数学科学学院广州510070）【摘要】本文系统地将解一次同余式的各种解法集中在一起，如欧拉定理算法、代入求解法、消去系数法、不定方程求解法、不定方程求解法、分式法、威尔逊定理法、求s、t法、矩阵求法、“倒数”求法，这样就使得学习者在学习一次同余式的时候有个系统的归纳总结，方便理解。关键词：一次同余式；解法；欧拉定理；威尔逊定理；不定方程；综述初等数论是师范院校数学专业学生的一门必修课，也是高中数学教师继续教育的一项重要内容，而同余式是初等数论中非常重要的一部分内容，主要研究一次同余式、二次同余式、同余式组及高次同

2、余式的解法及解数。[1]一次同余式是学习这一部分内容的基础，且结一次同余式是学习初等数论必须要掌握的解题方法。但是在严士键[2]的教材中只给出了如欧拉定理算法[3]等一些比较简单的方法，而且比较散乱。本文旨在系统地整理解一次同余式的各种方法，以方便大家的学习。1.一次同余式axb(modm)的解法1.1同余式的解法1.1.1欧拉定理算法李晓东[1]和李婷[3]指出欧拉定理这种算法主要是运用欧拉定理，则有,则，则满足同余式，故为同余式的解。李婷还指出这种解法在理论上较易分析，但当模m较大时，求就涉及m的标准分解，此时这种解法在计算量上较为复杂，不宜进行计算

3、机编程计算。所以这种解法更适合模m较小时，或较易求解时使用。王靖娜[4]给出了详细的定理证明过程，以帮助大家的理解。1.1.2代入求解法代入求解法也称为观察法[3]，当模m较小时，可以将模m的完全剩余系0、1、2……m-1代入到中，求出该同余式的解。当模m较大时，则可以利用同余式的性质[2]，将同余式的系数减少，而且有带余除法定理[5]可保证系数在一个固定的范围内作为模m的余数，从而再用观察法得出一次同余式的解。李婷[3]这种解法适用于多数情况，但是当模m及x的系数较大时，计算量也会变得比较大，此时就不适合使用这种方法，而改用其他的方法。1.1.3消去系

4、数法在同余式中，如果，则可以解出该同余式的解，因此，将x的系数消去是解一次同余式的最简捷的方法[6]。如果在同余式中但能找到使得且，则根据同余的传递性质有，可解出。或者找到，且有公因数，，则可根据引理将化简为，按照此方法逐次消去x的系数。王迪吉、张维娟[6]把消去系数法分为三种，一是直接消去x的系数，一是逐次消去x的系数，还有一种是利用辗转相除法消去x的系数。这三种方法对于很多种情况的同余式都可以求解。1.1.4不定方程求解法王迪吉，张维娟[6]还指出同余式有解的充分必要条件是不定方程有解，李婷[3]还指出这种方法对模m的要求较低而且易于利用计算机编程来

5、求解同余式。1.1.5不定方程求解法当时，可利用辗转相除法求整数的最大公因数的方法，结合同余式的性质，可以转化为一个形如的同解方程，以达到求解的目的。[3]这种解法就叫做欧几里德算法。这种解法本质上是：当时，利用恒等变形将变小，直至将x的系数变为1。[7]1.1.6分式法华罗庚[7]指出：对于，先把写成的形式（这里的只是一种形式上的写法），然后用与m互素的数陆续乘右端的分子和分母，目的在于把分母的绝对值变小，知道变为1为止。但是需要注意的是这里的只是一种形式符号，不能当一般的分数进行运算。更需要注意的是对的“分子”“分母”乘以不为零的整数或约去一个与模m

6、互质的数，否则所得出的结果可能不是原同余式的解。这种方法给出了一次同余式的形式解，较直观。但是这种解法只适合于模m不太大时。[3]1.1.7威尔逊定理法威尔逊定理：p为质数，则有。[3]当为质数，则由威尔逊定理有：,则有。[9]这种解法和欧拉定理解法一样，也是给出了一次同余式的一组公式解，但是此时要求模p为质数且不能太大，否则计算阶乘时将比较麻烦。1.1.8求s、t法因为的充分必要条件是存在s、t使得，则对同余式有，所以有，即满足同余式。[10]这种解法主要是要求出s、t，但是s、t在某些时候是不容易求出的。1.1.9矩阵求法毛毓球，陈永林[11]指出也

7、可以用矩阵方法去解，此时可以把基本矩阵取为，再对A施以行初等变换，使它的某一行变为的形式时，此时是原一次同余式的解。袁虎延[12]给出了五种类型的一次同余式的不同类型的矩阵的解法，这会使学习者更容易理解。1.1.10“倒数”求法我们知道，当我们求解一元一次方程时，是通过恒等变形或同解变形，将一元一次方程化成最简方程的形式，然后再用未知数x的系数的倒数去乘方程两边，得出方程的解。龙盛鼎[13]类比于这种解法，解一次同余式。设想在求解一次同余式的时候也引入未知数x的系数的“倒数”的概念。他定义：设是整数，m是一个给定的正整数，如果存在整数，使得，则称为对于模

8、m的倒数。则根据定理：若，令是对于模m的倒数，则一次同余式的解是。[14]1.2