流场有序结构分析解的探讨

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1、北京大学政学者论文集（2002年）流场有序结构分析解的探讨流场Page:141有序结构分析解的探讨OntheExactSolutionsoftheOrderedStructuresinFlowField力学与工程科学系99级邓新华摘要流体力学的基本控制方程是Navier-Stokes方程，作为一个非线性的偏微分方程组，它不存在通解；定常情况下，已经找到的分析解大致有平行流、广义Beltrami流、相似性解三类。从Helmholtz方程新的特解，我们进一步讨论了Bénard对流和三维Beltrami流动。此外，结合

2、工作中的应用，介绍了科技和工程界上四个著名的数学软件MatLab、Mathematica、Maple和MathCAD。AbstractThefundamentalgoverningequationsforfluidmechanicsaretheNavier-StokesEquations.Asanonlinearsetofpartialdifferentialequations,ithasnogeneralsolutions,yetonlyasmallnumberofexactsolutionshavebeenfo

3、und.Inthispaper,basedonthespecialsolutionofHelmholtzEquationwehavefound,newsolutionsfortheBénardconvectionandthe3DBeltramiFlowswillbediscussed.Alsowewillintroducefourofthemostnotablemathematicalsoftwares,whichareMatLab,Mathematica,MapleandMathCAD.一、引言在过去的几个世纪里

4、，流体力学家在众多实际问题中找到了分析解[1－3]147北京大学政学者论文集（2002年）流场有序结构分析解的探讨，但是，这些解具有很强的局限性，往往对模型做了多种假设，只适合特定的问题；而且有些还存在奇异性，如个别点不单值或者无界，不严格满足边界条件。尽管如此，分析解还是有着举足轻重的地位。它们描述了自然界基本的流体动力学现象，有些还与实验现象惊人的吻合，为实际工程应用、气象等提供了很好的近似；其次，对精确解，我们可以研究其稳定性、叠加的可行性等，深入讨论流动的本质；而且，随着计算机广泛应用于流体计算，这些简单

5、的解可以用来检验计算方法的合理性和精确性。二、Bénard对流的奇异解对流现象和海洋、大气、星球内部的动力学，以及许多工业生产密切相关。在空间中，当流体层的温度梯度大到某一程度时，将出现热传导状态到以热对流为主的状态的转变；通常，对流现象中因非线性的因素自发形成特殊的空间结构，称之为斑图（pattern）。Bénard对流是非线性科学中一个典型的自组织现象，可以说是目前研究最充分的一类斑图结构；本世纪初，瑞利提出了线性稳定性理论[5]，指导了近百年来Bénard对流涡胞的分析和模拟。由线性稳定方程（1）通过假定扰动

6、的形式，可以分离变量，其中水平方向集中体现了涡胞的性质。而且满足如下简单的方程：（2）目前典型的涡胞解有[6]：①直涡卷（Rolls）：；（3）②矩形涡胞（RectangularCells）：；（4）③六角形涡胞（HexagonalCells）：（5）等。我们找到了方程（2）在极坐标下的解（6）取实部有（7）147北京大学政学者论文集（2002年）流场有序结构分析解的探讨螺旋涡胞实验照片由，给出一条从坐标原点出发的螺旋线，即速度垂直分量为零的涡核的位置，函数的图象给出螺旋波的雏形，根据稳定性理论，我们导出了速度场

7、：两股流体分别旋入和旋出中心；此外，原点是函数的唯一奇点，而在实验中螺旋涡胞的中心也是流场中的唯一奇点。因此我们曾经猜测，解（7）将对应于Bénard对流的螺旋涡胞。进一步的工作表明，我们的这种猜测是可以被否定的。首先，我们可以验证方程（2）具有形式（l、m、n为常数）的解是唯一的，且该唯一解（6）作为复变函数并不解析。函数f单值分支其次，注意到，式（7）中函数的余弦项中对应的系数是1/2，即是关于以4π为周期的函数——在x、y平面上的任意一点，将对应着两个具有相反符号的函数值；而且，任取一单值分支都将存在一个间断

8、面。回到流动现象，这将意味着在流场中总存在一个间断面，在这个间断面的两边，流场具有完全相反的性质；或者流体的微团总处于两个不同的状态。无论怎样，都将与流动的基本现象和连续性假设相背离。因此，我们最终认为仅仅依靠我们所得到的解（7），还不足以给出相应于螺旋涡胞的有物理意义的解。我们认为，为简化问题，我们考虑的是不可压流体的定常流动；沿袭前人处理多边形涡胞的方法