林晶晶论文定稿new

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1、用差分方程计算行列式*本文获2010届优秀毕业论文指导老师:吴亭林晶晶摘要:行列式是高等代数课程里基本而又重要的内容之一.在数学中有着广泛的应用，因此懂得如何计算行列式显得尤为重要.本文主要介绍了利用一阶常系数线性差分方程、二阶常系数线性差分方程的通解解决n阶行列式的计算问题.这些行列式都可化为与其类型相同的行列式之间的递推关系式，得到递推关系，从而可建立差分方程.本文在具体解决了一阶常系数线性差分方程、二阶常系数齐次线性差分方程所对应的n行列式的求解之后，进一步介绍运用三阶常系数线性差分方程求解行列式，最

2、后说明当差分方程的系数不是常数时的求解情况.关键词:差分方程；行列式；递推关系；特征方程；特解一、引言行列式的计算在高等代数课程中的重要性使得我们有必要对行列式进行更深入的认识.计算行列式一般采用以下的方法：（1）利用行列式的性质；（2）将原有的行列式拆成两个行列式相加；（3）将原来n阶行列式加边成一个与其相等的n+1阶行列式；（4）利用递推公式，将原来n阶行列式的计算转化为同型的较低阶行列式计算；（5）对n阶行列式先计算，或，从特殊事物中寻求其普遍规律；（6）以上诸方法的联合利用.本文主要研究计算具有递推

3、关系的n阶行列式的一种求解的方法——利用差分方程求解.当n阶行列式可化为一阶、二阶递推公式时，用数学归纳法（第一或第二数学归纳法）可证明其结果，对元素具有对称性的行列式也可利用元素的对称性得到行列式的值.因此利用递推关系是解决行列式计算的一个重要思想.当一个行列式可用比它低阶的一系列行列式表示出来即满足递推关系时，一般可以用差分方程的形式表现出来.对于一阶、二阶常系数差分方程的通解是由对应的齐次线性差分方程的通解和非齐次差分方程的一个特解的和，即.再带入初值条件可得到常系数线性差分方程的解，即n阶行列式的值

4、.这样对于可降阶的行列式可用差分方程直接求解，而不必去研究其行列式内部的一般规律．由于差分方程和行列式的计算分别属于“微积分”和“高等代数”两部分的内容，较少的人能将这两部分联系起来.有的学者也只是初步的涉及到可化为二阶常系数齐次线性差分方程的求解，而对于可化为更高阶（如三阶）的行列式的计算问题，以及当差分方程的系数不是常数的情况没有深入的探讨.本文将一一介绍可用一阶、二阶、三阶常系数齐次线性差分方程、非齐次线性差分方程求解的行列式，及一些含变量的差分方程的求解问题.使得利用差分方程求解行列式这一方法更具一

5、般性.二、预备知识(一)差分及差分方程13定义1.1已知函数令为在时刻的一阶差分.令为在时刻的二阶差分，以此类推，令为在时刻的n阶差分.定义1.2含有未知函数以及未知函数差分的函数方程或者含有未知函数的两个或两个以上的函数值的函数方程称为差分方程，简称差分.(二)差分方程的阶及通解定义1.3出现在差分方程中的未知函数的差分的最高阶数或方程中未知函数脚标的最大差，称为差分方程的阶.定义1.4如果一个函数代入差分方程或能使该方程成为恒等式，这个函数就称为该方程的解.如果差分方程的解中含有与方程的阶数相同个相互独

6、立的任意常数，则称此解为差分方程的通解.当通解中任意常数取确定的值而得到相应的解，称为差分方程的一个特解.（三）差分方程解的结构定理1.1如果是齐次线性差分方程的n个线性无关的解，则称差分方程的通解为：其中为任意常数.定理1.2若是齐次线性差分方程的通解，而是相应的非齐次线性差分方程的一个特解，则为非齐次差分方程的通解.三、差分方程的应用(一)一阶常系数线性差分方程1.一阶常系数齐次线性差分方程一阶常系数齐次线性差分方程（，为已知常数）（1-1）的通解为（为任意常数）.其中为非负整数.例1计算n阶行列式解按

7、第一列展开，得，即得，初值条件代入，得，因此2.一阶常系数非齐次线性差分方程对于形如13（，为已知常数）（1-2）的一阶非齐次线性差分方程的通解是它的一个特解加上式（1-1）的通解，即.当时（1-3）或（1-4）为待定系数；当（为非零常数且）时（1-5）或（1-6）为待定系数；当（是实常数且，）时（1-7）或（1-8）例2计算n阶行列式解依据第一行把拆成两个行列式之和，即为对前一个行列式依次从第一列起乘以-b加到下一列，后一个行列式按第一行展开，得13即当时，，令，则得，得将初值条件代入，得，，因此当时，，

8、令，则得，得将初值条件代入，得，因此例3计算n阶行列式解按第一列将拆成两个行列式之和，得对前一个行列式将第一行分别加到其余各行，后一个行列式按第一列展开，得即13（1）当时令代入原方程，得得因此，将初值条件代入，得所以（2）当时原方程即为，故.将初值条件代入，得得.所以例4证明n阶行列式证明将按第一列展开，得即令则，由例2，可得，即为例5计算n阶行列式解将按第一列展开，得则因此13，令代入原方程比较系数，得{因此