《机电测控实验》实验指导书(2008修改)

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1、机电系统测控、机器人（II）实验指导书安徽工业大学机械工程学院2012．10项目一倒立摆机电系统建模、分析与控制1、一级倒立摆机电系统倒立摆系统是典型的快速、多变量、非线性、强耦合、不稳定的机电系统，是控制理论中研究的热点，同时生产中也有很多得应用，因此研究和分析倒立摆系统，在理论和实践上都具有意义。研究倒立摆系统的能有效的反映机电系统的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力通过对它的研究不仅可以解

2、决控制中的理论和技术实现问题，还能将控制理论涉及的主要基础学科：力学，数学和计算机科学进行有机的综合应用。其控制方法和思路无论对理论或实际的过程控制都有很好的启迪，能够检验多种控制理论和方法。倒立摆的研究不仅有其深刻的理论意义，还有重要的工程背景。在多种控制理论与方法的研究与应用中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的实验问题，使其理论与方法得到有效检验，倒立摆就能为此提供一个从理论通往实践的桥梁，目前，对倒立摆的研究已经引起国内外学者的广泛关注，是控制领域研究的热门课题之一。（1）一级倒立摆物理结构倒立摆简单结

3、构，如图1所示,质量为小车在轨道上运动，在小车上装有摆杆，质量为。摆杆与小车转动轴连接，并安装编码器，用于测量摆杆的角度，摆杆可左右运动。如果定义摆杆在垂直位置为稳定系统，显然倒立摆系统为不稳定的、典型的机电系统，倒立摆的不稳定性表现在摆杆不能保持在竖直位置，摆杆会转动。对小车不施加如图1所示力，那么施加在小车上的力大小、方向和作用时间如何变化才能保证摆杆保持在垂直位置。图1.倒立摆结构简图（1）一级倒立摆数学模型建模可以分为两种：实验建模和理论建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号

4、，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入一输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等内容。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入一状态关系。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学式。采用其中的牛顿定律方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模

5、型，并进行了简单的开环仿真。在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统简化成小车和匀质杆组成的系统。倒立摆系统各参数的物理意义、大小、单位，如下表1所示：表1变量物理意义大小单位小车的质量0.618Kg摆杆的质量0.0737KgF小车的驱动力NJ摆杆的转动惯量Kg·m2g当地的重力加速度9.8Kg/m·s2b小车与水平面的摩擦系数0.1N/m/secL摆杆的长度0.350ml摆杆质心到转轴的距离0.1225mP摆杆对小车水平方向上的力NN摆杆对小车竖直方向上的力Nf摆杆的摩擦阻力矩系数N/rad/sec

6、x小车的水平位移m小车速度m/s小车加速度m/s2θ摆杆与垂直向下方向的夹角(考虑到摆杆初始位置为竖直向下)rad摆杆与垂直向下方向的角速度rad/s摆杆与垂直向下方向的角加速度rad/s2K编码器参数α摆杆与垂直向上方向的夹角()rad摆杆与垂直向上方向的角速度rad/s摆杆与垂直向上方向的角加速度rad/s2表1.倒立摆系统各参数的物理意义、大小、单位在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可以将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统。利用牛顿第二定律对小车进行受力分析，首先对小车进行受力分析如图2所示，摆杆的

7、受力如图3所示。图2.小车受力图图3.摆杆受力图小车与地面摩擦力（1）小车水平方向受力：（2）由摆杆水平受力得：（3）即：将式（3）代入式（2）得：（4）由摆杆垂直方向受力分析图2，可知：（5）即：（6）再由摆杆的力矩平衡得：（7）其中，将式（3）和式（6）代入式（7）得：（8）式（4）和（8）均是非线性，需要线性化处理，由于控制的目的是保持倒立摆直立，在施加合适力时。假定1rad则有：。线性化得到两个线性式(9)，（9）对式(9)进行拉氏变化（在一定的条件下，能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的

8、复变函数）(设初始条件为0），控制信号为u：（10）选择摆杆倾斜角为仿真输出，由式(10)的第1个式得：（11）将其代入式(10)的第2个式得：（12）整理后得到传递函数为：（13）其中：(14)式(13)为摆杆倾斜角与控制量的传递函数。代入表一数据，可得到倒立摆系统的传递函数。（3）一级倒立摆特性分析与计算式（13）为摆杆的运动数学模型，要使摆杆竖直在垂直