高中数学 3-4 第2课时简单线性规划同步导学案 北师大版必修5

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1、第2课时　简单线性规划知能目标解读1.了解线性规划的意义，掌握目标函数的约束条件，二元线性规划、可行域、最优解等基本概念.2.掌握用图解法求方程及解线性规划问题的一般方法及步骤.重点难点点拨重点：线性规划的有关概念理解及线性目标函数最值的求解方法.难点：线性目标函数最值（即最优解）求法.学习方法指导一、简单线性规划的几个概念1.目标函数：我们把要求最大值或最小值的函数z=ax+by+c叫做目标函数.如果目标函数是关于变量的一次函数，则又称该目标函数为线性目标函数.2.约束条件：目标函数中的变

2、量所满足的不等式组称为约束条件.如果约束条件是关于变量的一次不等式（组），又称线性约束条件.3.线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题，也称为二元线性规划问题.4.可行解：线性规划问题中，满足线性约束条件的解（x,y）称为可行解.5.可行域:由所有可行解组成的集合称为可行域.6.最优解:可行域内使目标函数取最大值或最小值的解称为最优解,最优解一定在可行域里面,一般在边界处取得,最优解不一定只有一个,它可以有无数个.二、目标函数的最值问题在求

3、目标函数z=ax+by+c的最值时,根据y的系数的正负,可分为以下两种情形求最值.1.求目标函数z=ax+by+c,b>0的最值.在线性约束条件下,当b>0时,求目标函数z=ax+by+c的最小值或最大值的求解程序为:(1)作出可行域；(2)作出直线l0：ax+by=0；(3)确定l0的平移方向,若把l0向上平移,则对应的z值随之增大；若把l0向下平移,所对应的z值随之减小,依可行域判定取得最优解的点.(4)解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数的最大值或最小值.2.求目标函数z=ax

4、+by+c,b<0的最值.在线性约束条件下,当b<0时,求目标函数z=ax+by+c的最小值或最大值的求解程序为:(1)作出可行域；(2)作出直线l0:ax+by=0;(3)确定l0的平移方向:若把l0向上平移,所得相应z值随之减小；若把l0向下平移,所对应的z值随之增大,依可行域判定取得最优解的点.(4)解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数的最大值或最小值.注意：确定最优解的方法:①将目标函数的直线平移,最先通过或最后通过的顶点便是最优解；②利用围成可行域的直线的斜率来判断,若

5、围成可行域的直线l1,l2,…,ln的斜率分别为k1

6、最大值或最小值的可行解叫做.［答案］　线性约束条件　目标函数　线性目标函数　线性规划问题　可行解　可行域最优解思路方法技巧命题方向　求线性目标函数的最值问题x-4y≤-3［例1］　设Z=2x+y，式中变量x，y满足条件3x+5y≤25，求Z的最大值和最小值.x≥1［分析］　由于所给约束条件及目标函数均为关于x，y的一次式，所以此问题是简单线性规划问题，使用图解法求解.［解析］　作出不等式组表示的平面区域（即可行域），如图所示.把Z=2x+y变形为y=-2x+Z，得到斜率为-2，在y轴上的截距为

7、Z，随Z变化的一族平行直线.由图可看出，当直线Z=2x+y经过可行域上的点A时，截距Z最大，经过点B时，截距Z最小.x-4y+3=0解方程组，得A点坐标为（5，2），3x+5y-25=0x=1解方程组，得B点坐标为（1，1），x-4y+3=0所以Zmax=2×5+2=12，Zmin=2×1+1=3.［说明］　由本题的求解可以发现，解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，准确地理解Z的几何意义，线性规划最优解一般是在可行域的边界处取得.x+y≤6,变式应用1　（2011·大纲文，4）若变量x、y满

8、足约束条件x-3y≤-2,则z=2x+3yx≥1,最小值为（　　）A.17B.14C.5D.3［答案］　C［解析］　本题主要考查了简单的线性规划问题，线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数，即可求出最小值，注意各直线的斜率之间的关系.x+y≤6，由x-3y≤-2，作出可行域如图x≥1.作出l0:2x+3y=0，在可行域内平移l0，显然当l0过A点时z=2x+3y取最小值.x-3y=-2联立得A(