e_四点共圆例题及答案

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1、四点共圆例讲例1如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点．求证：E、F、G、H四点共圆．　　　　证明菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，连接OE、OF、OG、OH．　　∵AC和BD互相垂直，　　∴在Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD、Rt△DOA中，E、F、G、H，分别是AB、BC、CD、DA的中点，　　　　　　　即E、F、G、H四点共圆．　　(2)若四边形的两个对角互补(或一个外角等于它的内对角)，则四点共圆．　　例2如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC．　　求证：B、E、F、C四点共圆．

2、　　　　证明∵DE⊥AB，DF⊥AC，　　∴∠AED＋∠AFD=180°，good,noloosening.6.5.2DCSsidewiringtocompletetheenclosureandtheothersideafterthewiringiscompleted,DCSwithintheenclosurewhenthepowermoduleshouldbeloosenedorthepowergoesout.6.6lowvoltagecableterminalmaking6.6.1first49　　即A、E、D、F四点共圆，

3、　　∠AEF=∠ADF．　　又∵AD⊥BC，∠ADF＋∠CDF=90°，　　∠CDF＋∠FCD=90°，　　∠ADF=∠FCD．　　∴∠AEF=∠FCD，　　∠BEF＋∠FCB=180°，　　即B、E、F、C四点共圆．　　(3)若两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆．　　　　　证明在△ABC中，BD、CE是AC、AB边上的高．　　∴∠BEC=∠BDC=90°，且E、D在BC的同侧，　　∴E、B、C、D四点共圆．　　∠AED=∠ACB，∠A=∠A，　　∴△AED∽△ACB．

4、good,noloosening.6.5.2DCSsidewiringtocompletetheenclosureandtheothersideafterthewiringiscompleted,DCSwithintheenclosurewhenthepowermoduleshouldbeloosenedorthepowergoesout.6.6lowvoltagecableterminalmaking6.6.1first49　　　　上述三种方法是证“四点共圆”的基本方法，至于证第四点在前三点(不在同一直线上)所确定的圆上就不叙

5、述了．【例1】在圆内接四边形ABCD中，∠A-∠C=12°，且∠A∶∠B=2∶3．求∠A、∠B、∠C、∠D的度数．　　解∵四边形ABCD内接于圆，　　∴∠A+∠C=180°．　　∵∠A-∠C=12°，　　∴∠A=96°，∠C=84°．　　∵∠A∶∠B=2∶3，　　　　∠D=180°-144°=36°．　　利用圆内接四边形对角互补可以解决圆中有关角的计算问题．　　【例2】已知：如图1所示，四边形ABCD内接于圆，CE∥BD交AB的延长线于E．求证：AD·BE=BC·DC．　　证明：连结AC．　　∵CE∥BD，　　∴∠1=∠E．go

6、od,noloosening.6.5.2DCSsidewiringtocompletetheenclosureandtheothersideafterthewiringiscompleted,DCSwithintheenclosurewhenthepowermoduleshouldbeloosenedorthepowergoesout.6.6lowvoltagecableterminalmaking6.6.1first49　　∵∠1和∠2都是所对的圆周角，　　∴∠1=∠2．　　∠1=∠E．　　∵四边形ABCD内接于圆，　　∴∠E

7、BC=∠CDA．　　∴△ADC∽△CBE．　　AD∶BC=DC∶BE．　　AD·BE=BC·DC．　　本例利用圆内接四边形的一个外角等于内对角及平行线的同位角、圆中同弧所对的圆周角得到两个相似三角形的条件，进而得到结论．　　关于圆内接四边形的性质，还有一个重要定理．现在中学课本一般都不列入，现介绍如下：　　定理：圆内接四边形两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．　　已知：如图2所示，四边形ABCD内接于圆．求证：AC·BD=AB·CD＋AD·BC．　　证明：作∠BAE=∠CAD，AE交BD于E．　　∵∠ABD=∠ACD，　　　　

8、即AB·CD=AC·BE．①　　∵∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE，　　∴∠BAC=∠EAD．又∠ACB=∠ADE，good,noloosening.6.5.2DCSsidewiringtocompletetheenclosureandtheothersi