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《高中数学 第2章归纳总结同步导学案 北师大版必修5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章归纳总结知识结构知识梳理1.深化对正、余弦定理的理解正弦定理与余弦定理是三角形边角关系的重要定理，要理解两个定理及其变形.(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：在△ABC中，＝＝.正弦定理有以下三种变形形式：①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;②sinA=;其中R是△ABC外接圆的半径.③a：b：c=sinA：sinB：sinC.(2)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,
2、c2=a2+b2-2abcosC.余弦定理的推论：cosA=,cosB=,cosC=.2.剖析斜三角形的类型与解法正弦定理、余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素（三角形有三个角和三条边，三角形的边与角称为三角形的元素），如果其中三个元素是已知的（至少要有一个元素是边），那么这个三角形一定可解.关于斜三角形的解法，根据已知条件及适用的定理，可以归纳为以下四种类型（设三角形为△ABC,A,B,C所对的边分别为a,b,c）:已知条件应用定理一般解法一边和两角（如a,∠B,∠C）正弦定理由∠A+∠B+∠C=180°,求角A；由正弦定理求出b与c，在有解时只有一
3、解.两边和夹角（如a,b,∠C）余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c;由正弦定理求出一边所对的角；再由∠A+∠B+∠C=180°求出另一角，在有解时只有一解.三边（a,b,c）余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用∠A+∠B+∠C=180°,求出角C，在有解时只有一解.两边和其中一边的对角（如a,b,∠A）正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由∠A＋∠B+∠C=180°,求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c,可有两解、一解或无解.3.解三角形常用的边角关系及公式总结（1）三角形内角和等于180°.(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.(3)三角形中大
4、边对大角，小边对小角.(4)三角函数的恒等变形：sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,sin.(5)三角恒等变换公式，如和、差角公式，倍角公式的正用与逆用等.4.解读判断三角形形状的两种方法判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，此类题目一般采用以下两种方法求解：（1）利用正弦定理化边为角，通过三角运算判断三角形的形状.(2)利用余弦定理化角为边，通过代数运算判断三角形的形状.注意：根据余弦定理判断三角形的形状时，当a2+b25、2>c2,b2+c2>a2,c2+a2>b2中有一个关系式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论.5.常用三角形面积公式总结（1）S△ABC=a·ha=b·hb=c·hc(ha,hb,hc分别为a,b,c边上的高).（2）S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB＝(R为△ABC的外接圆半径).(3)S△ABC=(p=（a+b+c）).(4)S△ABC=(a+b+c)·r(r为△ABC的内切圆半径).6.点击正、余弦定理解几何问题的注意点（1）几何图形中几何性质的挖掘往往是解题的切入点，或是问题求解能否继续的转折点.(2)根据条件或图形
6、，找出已知，未知及求解中需要的三角形，用好三角恒等变形公式，正弦定理，余弦定理，或是综合运用这两个定理.(3)要有应用方程思想解题的意识，还要有引入参数，突出主元，简化问题的解题意识.7.细解正、余弦定理解实际应用题的步骤实际应用题的本质就是解三角形，无论是什么类型的题目，都要先画出三角形的模型，再通过正弦定理或余弦定理进行求解.解三角形应用题的一般步骤是：（1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系．（2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型.(3)选择正弦定理或余弦定理求解.(4)将三角形的解还原为实际问题，注意
7、实际问题中单位、近似计算要求.专题探究专题1 正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用应用正、余弦定理解题时，要熟练、准确地进行三角恒等变换，同时应注意三角形的一些隐含条件.［例1］ 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c且4sin2－cos2B=.(1)求角B的度数；（2）若b=,a+c=3,且a>c,求a,c的值.［分析］ （1）将条件等式转化为关于B的三角函数关系式，通过解方程求得角B. （2）由余弦定理列出关于a,c的方程组即可求出a,c的值.［解析］ （1）在△ABC中，由A+B+C＝180°,得sin=cos.
