第64炼利用空间向量解立体几何问题

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1、第64炼利用空间向量解立体几何问题一、基础知识（一）刻画直线与平面方向的向量1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定例如：，则直线的方向向量为2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面垂直的直线称为平面的法线，法线的方向向量就是平面的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？（1）所需条件：平面上的两条不平行的直线（2）求法：（先设再求）设平面的法向量为，若平面上所选两条直线的方向向量分别为，则可列出方程组：解出的比值即可例如：，求所在平面的法向量解：设，则有，解得：（二）空间向量可解决的立

2、体几何问题（用表示直线的方向向量，用表示平面的法向量）1、判定类（1）线面平行：（2）线面垂直：（3）面面平行：（4）面面垂直：2、计算类：（1）两直线所成角：（2）线面角：（3）二面角：或（视平面角与法向量夹角关系而定）（4）点到平面距离：设为平面外一点，为平面上任意一点，则到平面的距离为，即在法向量上投影的绝对值。（三）点的存在性问题：在立体几何解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧1、理念：先设再求——先设出所求点的坐标，再想办法利用条件求出坐标

3、2、解题关键：减少变量数量——可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确定在某条线或者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费”（变量多，条件少，无法求解），要考虑减少变量的个数，最终所使用变量的个数可根据如下条件判断：（1）直线（一维）上的点：用一个变量就可以表示出所求点的坐标（2）平面（二维）上的点：用两个变量可以表示所求点坐标规律：维度=所用变量个数3、如何减少变量：（1）直线上的点（重点）：平面向量共线定理——若使得例：已知，那么直线上的某点坐标可用一个变量表示，方法如下：——三点中取两点构成两个向量因为在上，所以——共线定理的应用（关

4、键），即——仅用一个变量表示（2）平面上的点：平面向量基本定理——若不共线，则平面上任意一个向量，均存在，使得：例：已知，则平面上的某点坐标可用两个变量表示，方法如下：，故，即二、典型例题例1：（2010天津）在长方体中，分别是棱上的点，，（1）求异面直线所成角的余弦值（2）证明：平面（3）求二面角正弦值解：由长方体得：两两垂直以为轴建立空间直角坐标系（1）（2），设平面的法向量为平面（3）设平面的法向量例2：如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，若分别为棱上的点，为中点，且（1）求证：平面平面（2）求直线与平面所成角的正弦值（3）求点到平面的

5、距离解：平面矩形故两两垂直以为轴建立空间直角坐标系，且分别为的中线设点，因为三点共线而而同理，设点，因为三点共线而而（1）设平面的法向量为设平面的法向量为平面平面（2）设平面的法向量为而设直线与平面所成角为，则（3）例3：已知在四棱锥中，底面是矩形，且平面，分别是线段的中点（1）求证：（2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由（3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值解：因为平面，且四边形是矩形以为轴建立空间直角坐标系，设（1）（2）设设平面的法向量为平面解得存在点，为的四等分点（靠近）（3）底面在底面的投影为

6、为与平面所成的角，即为等腰直角三角形即平面的法向量为平面为平面，所以平面的法向量为设二面角的平面角为，可知为锐角例4：四棱锥中，平面平面，是中点（1）求证：平面（2）求二面角的平面角的余弦值（3）在侧棱上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：过在平面作的垂线交于为中点平面平面平面以为轴建立空间直角坐标系（1）设平面的法向量为平面（2）设平面的法向量为设平面的法向量为所以二面角的平面角的余弦值为（3）设而平面的法向量为平面例5：已知四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，，（1）求证：平面平面（2）设与交于点，为中点，若二面角

7、的正切值是，求的值建系思路一：由与底面垂直，从而以作为轴，以为轴，由的菱形性质可得取中点，连结则有，从而建立空间直角坐标系解：取中点，连结，可得平面以为轴建立空间直角坐标系可得：（1）设平面的法向量为设平面的法向量为平面平面（2）设平面的法向量为设平面的法向量为设二面角的平面角为，则，可得建系思路二：由思路一可发现尽管建系思路简单，但是所涉及的点的坐标过于复杂，而导致后面的计算繁杂。所以考虑结合图形特点，建立坐标简单的坐标系，从而简化运算：利用菱形对角线垂直的特点，以为坐标原点。过作的平行线，即可垂直底面，从而所建立的坐标系使得底面上的点均在轴上

8、；另一方面，可考虑以为单位长度，可得，避免了坐标中出现过多的字母解：过作，平面平面因为为菱形，所以以为轴建立空间直角坐标系，以为单位长度