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时间:2018-09-16
《数学百大经典例题——两平面的平行判定和性质(新课标)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、taoti.tl100.com你的首选资源互助社区典型例题一例1:已知正方体.求证:平面平面.证明:∵为正方体,∴, 又平面,故 平面.同理 平面.又 ,∴平面平面.说明:上述证明是根据判定定理1实现的.本题也可根据判定定理2证明,只需连接即可,此法还可以求出这两个平行平面的距离.典型例题二例2:如图,已知,,.求证:.证明:过直线作一平面,设,.∵∴又∴在同一个平面内过同一点有两条直线与直线平行∴与重合,即.说明:本题也可以用反证法进行证明.taoti.tl100.com你的首选资源互助社区典型例题三例3:如果一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么它和另一个也相交.已知:如图
2、,,.求证:与相交.证明:在上取一点,过和作平面,由于与α有公共点,与有公共点.∴与、都相交.设,.∵∴又、、都在平面内,且和交于.∵与相交.所以与相交.典型例题四例4:已知平面,,为夹在,间的异面线段,、分别为、的中点.求证:,.证明:连接并延长交于.∵∴ ,确定平面,且,.∵,所以 ,∴,taoti.tl100.com你的首选资源互助社区又 ,,∴△≌△.∴.又,∴,.故 .同理说明:本题还有其它证法,要点是对异面直线的处理.典型例题六例6 如图,已知矩形的四个顶点在平面上的射影分别为、、、,且、、、互不重合,也无三点共线.求证:四边形是平行四边形.证明:∵,∴不妨设和确定平
3、面.同理和确定平面.又,且∴同理又∴又,∴.taoti.tl100.com你的首选资源互助社区同理.∴四边形是平行四边形.典型例题七例7 设直线、,平面、,下列条件能得出的是( ).A.,,且, B.,,且C.,,且 D.,,且分析:选项A是错误的,因为当时,与可能相交.选项B是错误的,理由同A.选项C是正确的,因为,,所以,又∵,∴.选项D也是错误的,满足条件的可能与相交.答案:C说明:此题极易选A,原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致.本例这样的选择题是常见题目,要正确得出选择,需要有较好的作图能力和对定理、公理的准确掌握、深刻理解,同时要考虑到各种情况.典
4、型例题八例8 设平面平面,平面平面,且、分别与相交于、,.求证:平面平面.分析:要证明两平面平行,只要设法在平面上找到两条相交直线,或作出相交直线,它们分别与平行(如图).taoti.tl100.com你的首选资源互助社区证明:在平面内作直线直线,在平面内作直线直线.∵平面平面,∴平面,平面,∴.又∵,,,∴平面平面.说明:如果在、内分别作,,这样就走了弯路,还需证明、在、内,如果直接在、内作、的垂线,就可推出.由面面垂直的性质推出“线面垂直”,进而推出“线线平行”、“线面平行”,最后得到“面面平行”,最后得到“面面平行”.其核心是要形成应用性质定理的意识,在立体几何证明中非常重
5、要.典型例题九例9 如图所示,平面平面,点、,点,是、的公垂线,是斜线.若,,、分别是和的中点,(1)求证:;(2)求的长.分析:(1)要证,取的中点,只要证明所在的平面.为此证明,即可.(2)要求之长,在中,、的长度易知,关键在于证明,从而由勾股定理可以求解.证明:(1)连结,设是的中点,分别连结、.∵是的中点,∴.又,∴.同理∵是的中点,∴.taoti.tl100.com你的首选资源互助社区∵,∴.∵,,∴平面.∵平面,∴.(2)分别连结、.∵,,又∵是、的公垂线,∴,∴≌,∴,∴是等腰三角形.又是的中点,∴.在中,.说明:(1)证“线面平行”也可以先证“面面平行”,然后利用
6、面面平行的性质,推证“线面平行”,这是一种以退为进的解题策略.(2)空间线段的长度,一般通过构造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理来求解.(3)面面平行的性质:①面面平行,则线面平行;②面面平行,则被第三个平面所截得的交线平行.典型例题十例10如果平面内的两条相交直线与平面所成的角相等,那么这两个平面的位置关系是__________.分析:按直线和平面的三种位置关系分类予以研究.解:设、是平面内两条相交直线.(1)若、都在平面内,、与平面所成的角都为,这时与重合,根据教材中规定,此种情况不予考虑.(2)若、都与平面相交成等角,且所成角在内;∵、与有公共点,这时与相交.若、都与平面
7、成角,则,与已知矛盾.此种情况不可能.(3)若、都与平面平行,则、与平面所成的角都为,内有两条直线与平面平行,这时.taoti.tl100.com你的首选资源互助社区综上,平面、的位置关系是相交或平行.典型例题十一例11 试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行.已知:,求证:过有且只有一个平面.分析:“有且只有”要准确理解,要先证这样的平面是存在的,再证它是惟一的,缺一不可.证明:在平面内任作两条相交直线和,则由知,,.点和直线可确定一个平面,点和直线可确定一个平面.在
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