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1、第一届(1959)1.求证(21n+4)/(14n+3)对每个自然数n都是最简分数。2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A,试在以下3种情况下分别求出x的实数解:(a)A=√2;(b)A=1;(c)A=2。3.a、b、c都是实数,已知cosx的二次方程acos2x+bcosx+c=0,试用a,b,c作出一个关于cos2x的二次方程,使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较cosx和cos2x的方程式。4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c,斜边上的中线是两直角边的几何平均值。5.在线段AB上任意选取一点M
2、,在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF,这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q,设这两个外接圆又交于M、N,(a.)求证AF、BC相交于N点;(b.)求证不论点M如何选取直线MN都通过一定点S;(c.)当M在A与B之间变动时,求线断PQ的中点的轨迹。6.两个平面P、Q交于一线p,A为p上给定一点,C为Q上给定一点,并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD(AB平行于CD),使得它有一个内切圆,并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。第二届(1960)1.找出所有具有下列性质的三位数N:N能被11整除且N/11等于N的
3、各位数字的平方和。2.寻找使下式成立的实数x:4x2/(1-√(1+2x))2 < 2x+93.直角三角形ABC的斜边BC的长为a,将它分成n等份(n为奇数),令a为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角,从A到BC边的高长为h,求证:tana=4nh/(an2-a).4.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长,求作三角形ABC。5.正方体ABCDA'B'C'D'(上底面ABCD,下底面A'B'C'D')。X是对角线AC上任意一点,Y是B'D'上任意一点。a. 求XY中点的轨迹;b. 求(a)中轨迹上的、并且还满足ZY=2XZ的点Z
4、的轨迹。6.一个圆锥内有一内接球,又有一圆柱体外切于此圆球,其底面落在圆锥的底面上。令V1为圆锥的体积,V2为圆柱的体积。(a).求证:V1不等于V2;(b).求V1/V2的最小值;并在此情况下作出圆锥顶角的一般。第三届(1961)1.设a、b是常数,解方程组x+y+z=a; x2+y2+z2=b2; xy=z2并求出若使x、y、z是互不相同的正数,a、b应满足什么条件?2.设a、b、c是某三角形的边,A是其面积,求证:a2+b2+c2>=4√3A.并求出等号何时成立。3.解方程cosnx-sinnx=1,其中n是一个自然数。4.P是三角形A
5、BC内部一点,PA交BC于D,PB交AC于E,PC交AB于F,求证AP/PD,BP/PE,CP/PF中至少有一个不大于2,也至少有一个不小于2。5.作三角形ABC使得AC=b,AB=c,锐角AMB=a,其中M是线断BC的中点。求证这个三角形存在的充要条件是btan(a/2)<=c6、,O的轨迹是什么?第四届(1962)1.找出具有下列各性质的最小正整数n:它的最后一位数字是6,如果把最后的6去掉并放在最前面所得到的数是原来数的4被。2.试找出满足下列不等式的所有实数x:√(3-x)-√(x+1)>1/2.3.正方体ABCDA'B'C'D'(ABCD、A'B'C'D'分别是上下底)。一点x沿着正方形ABCD的边界以方向ABCDA作匀速运动;一点Y以同样的速度沿着正方形B'C'CB的边界以方向B'C'CBB'运动。点X、Y在同一时刻分别从点A、B'开始运动。求线断XY的中点的轨迹。4.解方程cos2x+cos22x+cos237、x=1。5.在圆K上有三个不同的点A、B、C。试在K上再作出一点D使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。6.一个等腰三角形,设R为其外接圆半径,内切圆半径为r,求证这两个圆的圆心的距离是√(R(R-2r))。7.求证:正四面体有5个不同的球,每个球都与这六条边或其延长线相切;反过来,如果一个四面体有5个这样的球,则它必然是正四面体。第五届(1963)1.找出下列方程的所有实数根(其中p是实参数): √(x2-p)+2√(x2-1)=x.2.给定一点A及线断BC,设空间中一点P使得存在线段BC上有一点X满足角APX是直角,试求出所有这样的点P的轨8、迹。3.在一个n边形中,所有内角都相等,边长依次是 a1>=a2>=...>=an,求证:所有边长都相等。4.设y是一个参数,试找出方程组xi+xi
6、,O的轨迹是什么?第四届(1962)1.找出具有下列各性质的最小正整数n:它的最后一位数字是6,如果把最后的6去掉并放在最前面所得到的数是原来数的4被。2.试找出满足下列不等式的所有实数x:√(3-x)-√(x+1)>1/2.3.正方体ABCDA'B'C'D'(ABCD、A'B'C'D'分别是上下底)。一点x沿着正方形ABCD的边界以方向ABCDA作匀速运动;一点Y以同样的速度沿着正方形B'C'CB的边界以方向B'C'CBB'运动。点X、Y在同一时刻分别从点A、B'开始运动。求线断XY的中点的轨迹。4.解方程cos2x+cos22x+cos23
7、x=1。5.在圆K上有三个不同的点A、B、C。试在K上再作出一点D使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。6.一个等腰三角形,设R为其外接圆半径,内切圆半径为r,求证这两个圆的圆心的距离是√(R(R-2r))。7.求证:正四面体有5个不同的球,每个球都与这六条边或其延长线相切;反过来,如果一个四面体有5个这样的球,则它必然是正四面体。第五届(1963)1.找出下列方程的所有实数根(其中p是实参数): √(x2-p)+2√(x2-1)=x.2.给定一点A及线断BC,设空间中一点P使得存在线段BC上有一点X满足角APX是直角,试求出所有这样的点P的轨
8、迹。3.在一个n边形中,所有内角都相等,边长依次是 a1>=a2>=...>=an,求证:所有边长都相等。4.设y是一个参数,试找出方程组xi+xi
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