a车灯线光源的最优设计3数学建模

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1、一．问题重述汽车头部车灯的线光源的设计对车灯的照明光强有重要影响。一种可能的设计规范标准为，在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。假设车灯的反射面是旋转抛物面。车灯的对称轴水平地指向正前方,其开口半径36毫米，深度21.6毫米。线光源对称地一定长度的均匀放置在经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向。旋转抛物面及其内部线光源的空间位置如图1.1图1.1

2、旋转抛物面及其内部线光源的空间位置在满足该设计规范的条件下，线光源的功率存在一个极小值，此时线光源长度最短。二．基本假设1、线光源没有宽度，发光功率均匀分布。2、线光源上任意一点发出的光的波阵面为球形。3、光线在被反射时没有能量损失，也就是说，光线被全反射。4、光线在空气中传播时没有能量损失，也不会遇到障碍物。5、不考虑二次反射的情况。191、光线被测试屏完全吸收，即在测试屏处检测的光强就是照射到此处的光强。三．符号说明r旋转抛物面的开口半径h旋转抛物面的开口深度f焦距I光强度（单位面积的光功率）P光功率四．问题分析和解答4.1模型中基本的数学推导4.1.1旋转抛物面的焦距根据题意，（本文中所

3、有长度单位为mm），。根据公式：焦点附近的线光源可看成许多点光源的线性叠加。一个基本的结论是若点光源在焦点位置，它发出的光经过抛物面的反射形成平行光。4.1.2测试屏反射点坐标公式给定线光源上一个点光源,它与焦点的距离为d,它发出的光线经旋转抛物面上的一点的反射,反射光线与测试屏的交点为,下面的工作是建立与和的关系。本文中，旋转抛物面的对称轴设为z轴正向，顶点在原点，水平面为zy面。则其方程为：（1）显然,坐标为。设，则坐标满足方程（1）（2）根据空间解析几何，曲面在点的法线l的法向量为19=（3）则过点的法线方程为（4）设关于法线l的对称点P的坐标为，则和P连线的中点在法线上，得：（5）另外

4、：显然，故（6）联立（5）（6）两式，解得（7）其中过和两点的反射光线的方程为（8）它与测试屏的交点为。在测试屏上，，将（7）带入（8），得交点坐标（9）19其中由（9）式可见，如果（即问题1中B点和C点的情况），则或这说明对线光源上的任一点光源，对测试屏上过轴与屏的交点并与线光源平行的直线上的点的光强有贡献的抛物曲面上的反射点分两部分：一是线光源与轴线所确定的平面与曲面的交点，即；一是由空间点，满足。4.2问题一4.2.1逆向模型1)点光源模型点光源可以看作一个没有大小的发光点。发出的光线均匀的向各个方向发散。2)点光源的能量模型a)经过以点光源为球心的任意一个球面的光的总能量相等；b)由a

5、)和球面积公式可得，点光源照射到任意一点的光强度，与该点到点光源的距离平方成反比。c)本问题中，可以假设单位长度的线光源功率为P，则点光源的功率大小也为常数P；3)光强度函数光的强度在物理学中有具体的定义。但是在本问题中，并没有要求、也无法求出光强度的具体数值。又由于点光源的功率已假定为一常数P，于是某点的光强度仅与该点到点光源的距离d的平方成反比，因此，在本文中，可以定义光强度函数I为：(10)4)线光源模型线光源可以看作是无数点光源紧密排列在一起组成的。19以下的讨论中，可以先讨论点光源对B、C点光强度的影响，然后对光强度函数在线光源所在的直线上进行积分，就可以得到线光源在B、C点产生的光

6、强度函数I(11)1)旋转抛物面模型旋转抛物面可以看作一条抛物线沿着它的对称轴旋转180度所得的曲面。其中任意一条抛物线都可以起到反射镜的作用。6)坐标系的建立与各物体的位置关系坐标系与旋转抛物面如图4.2.1所示。图4.2.2.1坐标系与旋转抛物面位置7)B、C点光强度的粗略模型显然，照射到B、C点的光线来自两部分，一部分是线光源的直接照射，另一部分经过旋转抛物面的反射后照到B、C点。于是，B、C点光强度应该是两部分分别在两点引起的光强度的叠加。8)直射光线在B点引起的光亮度大小很容易证明，线光源上每一个点光源都可以照射到B点。设线光源两端点分别为：和。某点光源坐标，到B点的距离d(x)，则

7、线光源在B点引起的光亮度大小为：(12)同理可以得到该段线光源在C点的光亮度大小。9)反射光线在B的点引起的光亮度大小a)一些基本关系式19线光源上任取一点，旋转抛物面上任取一点，两点确定一条入射光线：方向向量B点坐标，与旋转抛物面上一点确定一条反射光线：方向向量：过抛物面上一点的法线方程：方向向量：由于入射光线、反射光线和法线满足如下两个条件：①三线共面；②法线平分入射光线与反射光线的夹角。由以