题根研究正方体为面体之根

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1、题根研究正方体为多面体之根一、正方体高考十年十年来，立体几何的考题一般呈“一小一大”的形式.分数约占全卷总分的八分之一至七分之一.立几题的难度一般在0.55左右，属中档考题，是广大考生“上线竞争”时势在必夺的“成败线”或“生死线”.十年的立几高考，考的都是多面体.其中：（1）直接考正方体的题目占了三分之一；（2）间接考正方体的题目也占了三分之一.因此有人说，十年高考，立体几何部分，一直在围绕着正方体出题.【考题1】（正方体与其外接球）（1996年）正方体的全面积为a2，则其外接球的表面积为（B）A.B.C.2πa2D.3πa2【解析】外接球的表面积，比起内接正方体的全面积来，

2、自然要大一些，但绝不能是它的（C）约6倍或（D）约9倍，否定（C），（D）；也不可能与其近似相等，否定（A），正确答案只能是（B）.【考题2】（正方体中的线面关系）（1997年）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．（1）证明AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角；（3）证明面AED⊥面A1FD1；（4）设AA1=2，求三棱锥F-A1ED1的体积【说明】小问题很多，但都不难.熟悉正方体各棱、各侧面间位置关系的考生，都能迅速作答.如解答（1），只要知道棱AD与后侧面垂直就够了.【考题3】（正方体的侧面展开图）（2001年）右图是正方体的

3、平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直.11以上四个命题中，正确命题的序号是（A）①②③（B）②④（C）③④（D）②③④【解析】考查空间想象能力.如果能从展开图（右上）想到立体图（下），则能立即判定命题①、②为假，而命题③、④为真，答案是C.【考题4】（正方体中的垂直面）（2002年）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直.点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（）（1）求MN的长；（2）当a为何值时，MN的长最小；（3）当MN的长最小时，求面MNA与

4、面MNB所成二面角α的大小.【解析】【考题5】（正方体中主要线段的关系）（2002年）在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是【解析】射影法：作AB在CD所在平面上的射影，由三垂线定理知其正确答案为A.平移法：可迅速排除(B)，(C)，(D)，故选（A）.【考题6】（正方体与正八面体）11（2003年）棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为A.B.C.D.【解析】将正八面体一分为二，得2个正四棱锥，正四棱锥的底面积为正方形面积的，再乘得.答案选C.【考题7】（正方体中的异面直线）（2004年）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，

5、O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于A.B.C.D.【解析】【考题8】（正方体中的线线角）（2005年）如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是A.arccosB.C.arccosD.【考题9】（正方体中的射影问题）（2006年）如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是_______．(要求：把可能的图的序号都填上)【考题10】（正方体中

6、的三角形）（2006年）在正方体上任选3个顶点连三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角青工的概率为11A.B.C.D.【解析】在正方体上任选3个顶点连成三角形可得个三角形，要得直角非等腰三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得，所以选C.二、全国热炒正方体2006年的各地数学考卷中，直涉正方体的考题有13个，隐涉正方体的考题还有更多.其中，四川卷“一大一小”的立几考题，都是考的正方体.湖北卷登峰造极，“一小一大”的两个立几考题，都是正方体中的难题.其中，第18题的第2问还是个开放题目.【考题1】2006年四川卷第13题——正方体的一

7、“角”在三棱锥O—ABC中，三条棱OA、OB、OC两两互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的大小是（用反三角函数表示）.【考题2】2006年四川卷第19题——两正方体的“并”如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a.（1）求证：MN∥面ADD1A1；（2）求二面角P—AE—D的大小；（3）求三棱锥P—DEN的体积.【考题3】（2006年湖北卷第18题）如图，在棱长为1的正