数学建模书写格式训练1

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1、正定.由于正定，函数Q的驻点是Q(x)的极小点.为求此极小点，令即可解得对照基本迭代格式（1），可知从点出发沿搜索方向.并取步长即可得Q(x)的最小点通常，把方向叫做从点出发的Newton方向.从一初始点开始，每一轮从当前迭代点出发，沿Newton方向并取步长为1的求解方法，称之为Newton法.其具体步骤如下：1°选取初始数据。选取初始点，给定终止误差，令k:=0.2°求梯度向量。计算若停止迭代，输出否则，进行3°.3°构造Newton方向.计算取4°求下一迭代点.令转2°.例5用Newton法求解，选取解：(i)（ii）编写M文件nwfun.m如下：function[f,df,d

2、2f]=nwfun(x);f=x(1)^4+25*x(2)^4+x(1)^2*x(2)^2;df=[4*x(1)^3+2*x(1)*x(2)^2;100*x(2)^3+2*x(1)^2*x(2)];d2f=[2*x(1)^2+2*x(2)^2,4*x(1)*x(2)4*x(1)*x(2),300*x(2)^2+2*x(1)^2];（III）编写主程序文件example5.m如下：clcx=[2;2];[f0,g1,g2]=nwfun(x);whilenorm(g1)>0.00001p=-inv(g2)*g1;x=x+p;[f0,g1,g2]=nwfun(x);endx,f0如果目标函

3、数是非二次函数，一般地说，用Newton法通过有限轮迭代并不能保证可求得其最优解.为了提高计算精度，我们在迭代时可以采用变步长计算上述问题，编写主程序文件example5_2如下：clc,clearx=[2;2];[f0,g1,g2]=nwfun(x);whilenorm(g1)>0.00001p=-inv(g2)*g1;p=p/norm(p);t=1.0;f=nwfun(x+t*p);whilef>f0t=t/2;f=nwfun(x+t*p);endx=x+t*p;[f0,g1,g2]=nwfun(x);endx,f0Newton法的优点是收敛速度快；缺点是有时不好用而需采取改进措

4、施，此外，当维数较高时，计算的工作量很大.2.3.1.3变尺度法变尺度法（VariableMetricAlgorithm）是近20多年来发展起来的，它不仅是求解无约束极值问题非常有效的算法，而且也已被推广用来求解约束极值问题.由于它既避免计算二阶导数矩阵及其求逆过程，又比梯度法的收敛速度快，特别是对高维问题具有显著的优越性，因而使变尺度法获得了很高的声誉.下面我们就来简要地介绍一种变尺度法—DFP法的基本原理及其计算过程。这一方法首先由Davidon在1959年提出，后经Fletcher和Powell加以改进.我们已经知道，牛顿法的搜索方向是为了不计算二阶导数矩阵及其逆阵，我们设法构

5、造另一个矩阵，用它来逼近二阶导数矩阵的逆阵这一类方法也称拟牛顿法（Quasi-NewtonMethod）.下面研究如何构造这样的近似矩阵，并将它记为我们要求：每一步都能以现有的信息来确定下一个搜索方向；每做一次选代，目标函数值均有所下降；这些近似矩阵最后应收敛于解点处的Hesse阵的逆阵.当f(x)是二次函数时，其Hesse阵为常数阵A，任两点和处的梯度之差为或对于非二次函数，仿照二次函数的情形，要求其Hesse阵的逆阵的第k+1次近似矩阵满足关系式(7)这就是常说的拟Newton条件.若令(8)则式（7）变为(9)现假定已知，用下式求（设和均为对称正定阵）；(10)其中称为第k次校

6、正矩阵.显然，应满足拟Newton条件（9），即要求或(11)由此可以设想，的一种比较简单的形式是（12）其中和为两个待定列向量.将式（12）中的代入（11），得这说明，应使(13)考虑到应为对称阵，最简单的办法就是取(14)由式（13）得(15)若和不等于零，则有(16)于是，得校正矩阵(17)从而得到(18)上述矩阵称为尺度矩阵.通常，我们取第一个尺度矩阵为单位阵，以后的尺度矩阵按式（18）逐步形成.可以证明：（i）当xk不是极小点且正定时，式（17）右端两项的分母不为零，从而可按式（18）产生下一个尺度矩阵；（ii）若为对称正定阵，则由式（18）产生的也是对称正定阵；（iii）

7、由此推出DFP法的搜索方向为下降方向.现将DFP变尺度法的计算步骤总结如下.1°给定初始点及梯度允许误差2°若则x0即为近似极小点，停止迭代，否则，转向下一步.3°令（单位矩阵），在方向进行一维搜索，确定最佳步长:如此可得下一个近似点4°一般地，设已得到近似点算出若则即为所求的近似解，停止迭代；否则，计算：并令在方向上进行一维搜索，得,从而可得下一个近似点5°若满足精度要求，则即为所求的近似解，否则，转回4°，直到求出某点满足精度要求为止.2.3.2直接法