数学建模书写格式训练1

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1、正定.由于正定,函数Q的驻点是Q(x)的极小点.为求此极小点,令即可解得对照基本迭代格式(1),可知从点出发沿搜索方向.并取步长即可得Q(x)的最小点通常,把方向叫做从点出发的Newton方向.从一初始点开始,每一轮从当前迭代点出发,沿Newton方向并取步长为1的求解方法,称之为Newton法.其具体步骤如下:1°选取初始数据。选取初始点,给定终止误差,令k:=0.2°求梯度向量。计算若停止迭代,输出否则,进行3°.3°构造Newton方向.计算取4°求下一迭代点.令转2°.例5用Newton法求解,选取解:(i)(ii)编写M文件nwfun.m如下:function[f,df,d

2、2f]=nwfun(x);f=x(1)^4+25*x(2)^4+x(1)^2*x(2)^2;df=[4*x(1)^3+2*x(1)*x(2)^2;100*x(2)^3+2*x(1)^2*x(2)];d2f=[2*x(1)^2+2*x(2)^2,4*x(1)*x(2)4*x(1)*x(2),300*x(2)^2+2*x(1)^2];(III)编写主程序文件example5.m如下:clcx=[2;2];[f0,g1,g2]=nwfun(x);whilenorm(g1)>0.00001p=-inv(g2)*g1;x=x+p;[f0,g1,g2]=nwfun(x);endx,f0如果目标函

3、数是非二次函数,一般地说,用Newton法通过有限轮迭代并不能保证可求得其最优解.为了提高计算精度,我们在迭代时可以采用变步长计算上述问题,编写主程序文件example5_2如下:clc,clearx=[2;2];[f0,g1,g2]=nwfun(x);whilenorm(g1)>0.00001p=-inv(g2)*g1;p=p/norm(p);t=1.0;f=nwfun(x+t*p);whilef>f0t=t/2;f=nwfun(x+t*p);endx=x+t*p;[f0,g1,g2]=nwfun(x);endx,f0Newton法的优点是收敛速度快;缺点是有时不好用而需采取改进措

4、施,此外,当维数较高时,计算的工作量很大.2.3.1.3变尺度法变尺度法(VariableMetricAlgorithm)是近20多年来发展起来的,它不仅是求解无约束极值问题非常有效的算法,而且也已被推广用来求解约束极值问题.由于它既避免计算二阶导数矩阵及其求逆过程,又比梯度法的收敛速度快,特别是对高维问题具有显著的优越性,因而使变尺度法获得了很高的声誉.下面我们就来简要地介绍一种变尺度法—DFP法的基本原理及其计算过程。这一方法首先由Davidon在1959年提出,后经Fletcher和Powell加以改进.我们已经知道,牛顿法的搜索方向是为了不计算二阶导数矩阵及其逆阵,我们设法构

5、造另一个矩阵,用它来逼近二阶导数矩阵的逆阵这一类方法也称拟牛顿法(Quasi-NewtonMethod).下面研究如何构造这样的近似矩阵,并将它记为我们要求:每一步都能以现有的信息来确定下一个搜索方向;每做一次选代,目标函数值均有所下降;这些近似矩阵最后应收敛于解点处的Hesse阵的逆阵.当f(x)是二次函数时,其Hesse阵为常数阵A,任两点和处的梯度之差为或对于非二次函数,仿照二次函数的情形,要求其Hesse阵的逆阵的第k+1次近似矩阵满足关系式(7)这就是常说的拟Newton条件.若令(8)则式(7)变为(9)现假定已知,用下式求(设和均为对称正定阵);(10)其中称为第k次校

6、正矩阵.显然,应满足拟Newton条件(9),即要求或(11)由此可以设想,的一种比较简单的形式是(12)其中和为两个待定列向量.将式(12)中的代入(11),得这说明,应使(13)考虑到应为对称阵,最简单的办法就是取(14)由式(13)得(15)若和不等于零,则有(16)于是,得校正矩阵(17)从而得到(18)上述矩阵称为尺度矩阵.通常,我们取第一个尺度矩阵为单位阵,以后的尺度矩阵按式(18)逐步形成.可以证明:(i)当xk不是极小点且正定时,式(17)右端两项的分母不为零,从而可按式(18)产生下一个尺度矩阵;(ii)若为对称正定阵,则由式(18)产生的也是对称正定阵;(iii)

7、由此推出DFP法的搜索方向为下降方向.现将DFP变尺度法的计算步骤总结如下.1°给定初始点及梯度允许误差2°若则x0即为近似极小点,停止迭代,否则,转向下一步.3°令(单位矩阵),在方向进行一维搜索,确定最佳步长:如此可得下一个近似点4°一般地,设已得到近似点算出若则即为所求的近似解,停止迭代;否则,计算:并令在方向上进行一维搜索,得,从而可得下一个近似点5°若满足精度要求,则即为所求的近似解,否则,转回4°,直到求出某点满足精度要求为止.2.3.2直接法

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