自动控制原理第4章习题解——邵世凡

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1、第四章习题4-1绘制具有下列开环传递函数的负反馈系统的根轨迹1、解：首先确定开环传递函数中的零极点的个数各是多少。由开环传递函数可知m=0，n=3，n-m=3。即，有限零点为0个，开环极点为3个。其中，3个开环极点的坐标分别为：p1=0，p2=-4，p3=-5。然后，在[s]平面上画出开环极点的分布情况，根据根轨迹方程的幅角条件：首先确定实轴上的闭环系统的根轨迹。如图所示。接着再通过所需参数的计算画出比较精确的根轨迹Im[s]Res[s]0-3-2-1-6-5-4通过画实轴上的根轨迹图可知，有3条闭环根轨迹，分别从p1=0，p

2、2=-4，p3=-5出发奔向无穷远处的零点。在这一过程中，从p1=0，p2=-4两个极点出发的根轨迹在实轴上相遇后进入复平面，因此，有必要进行分离点的坐标计算，渐进线在实轴上的坐标点和渐进线的角度计算，以及与虚轴交点的计算。根据公式有：渐进线从p1=0，p2=-4两个极点出发的根轨迹在实轴上相遇后将沿着±60º进入复平面，分离点：设：；；；则有：解得方程的根为s1=-4.5275（不合题意舍去）；s2=-1.4725得分离点坐标：d=-1.4725。与虚轴的交点：在交点处，s=jω，同时也是闭环系统的特征根，必然符合闭环特征方

3、程，于是有：整理得：；解得；；最后，根据以上数据精确地画出根轨迹。2、解：首先确定开环传递函数中的零极点的个数各是多少。由开环传递函数可知m=1，n=3，n-m=2。即，有限零点为1个，开环极点为3个。其中，有限零点的坐标为z=-0.1；3个开环极点的坐标分别为：p1=p2=-0，p3=-1。然后，在[s]平面上画出开环极点的分布情况，根据根轨迹方程的幅角条件：首先确定实轴上的闭环系统的根轨迹。如图所示。Im[s]Res[s]0-0.3-0.2-0.1-0.6-0.5-0.4-0.7-1-0.9-0.8通过画实轴上的根轨迹图可

4、知，有3条闭环根轨迹，其中一条从p3=-1出发奔向有限零点z=-0.1处；而另外两条根轨迹分别从p1=0，p2=0，出发奔向无穷远处的零点。在这一过程中，从p1=0，p2=0两个极点出发的根轨迹只能通过进入复平面到达无穷远处的零点，因此，有必要进行分离点的坐标计算，渐进线在实轴上的坐标点和渐进线的角度计算，以及与虚轴交点的计算。根据公式有：渐进线从p1=0，p2=0两个极点出发的根轨迹在将沿着在d=-0.45处，角度为±90º的渐进线奔向无穷远处的零点。分离点：设：；；；则有：解得方程的根为：s1=0；s2=-0.40（不合题

5、意舍去）；s3=-0.25（不合题意舍去）；得分离点坐标：d=0；。分离角为：最后，根据以上数据精确地画出根轨迹。Im[s]Res[s]0-3-2-1-6-5-4-j2+j23、解：首先确定开环传递函数中的零极点的个数各是多少。由开环传递函数可知m=0，n=3。即，有限零点为0个，开环极点为3个。其中，3个开环极点的坐标分别为：p1=0，p2=-2+j2，p3=-2+j2。然后，在[s]平面上画出开环极点的分布情况，根据根轨迹方程的幅角条件：首先确定实轴上的闭环系统的根轨迹。如图所示。接着再通过所需参数的计算画出比较精确的根轨

6、迹。通过画实轴上的根轨迹图可知，有3条闭环根轨迹，分别从p1=0，p2=-4，p3=-5出发奔向无穷远处的零点。在这一过程中，从p1=0极点出发的根轨迹将沿着实轴出发奔向无穷远处的零点。而另外两个条根轨迹分别从p2=-2+j2，p3=-2-j2出发奔向无穷远处的零点。因此，有必要进行bm出射角的计算，渐进线在实轴上的坐标点和渐进线的角度计算，以及与虚轴交点的计算。根据公式有：渐进线从p1=-0极点出发的根轨迹在将沿着在d=-4/3处，角度为±180º的渐进线奔向无穷远处的零点。而从p2=-2+j2，p3=-2-j2两个极点出发

7、的根轨迹在将沿着在d=-4/3处，角度为±60º的渐进线奔向无穷远处的零点。出射角根据对称原则可知，。由出射角的的可知，根轨迹必然与纵轴相交。与虚轴的交点：在交点处，s=jω，同时也是闭环系统的特征根，必然符合闭环特征方程，于是有：整理得：；解得；；最后，根据以上数据精确地画出根轨迹。4、解：首先确定开环传递函数中的零极点的个数各是多少。由开环传递函数可知m=2，n=3。即，有限零点为2个，分别为，z1=-1+j1.7321，z2=-1-j1.7321。开环极点为5个，5个开环极点的坐标分别为：p1=0，p2=-4，p3=-6

8、，p5=--0.7+j0.7141，p6=-0.7-j0.7141。然后，在[s]平面上画出开环极点的分布情况，根据根轨迹方程的幅角条件：首先确定实轴上的闭环系统的根轨迹。如图所示。接着再通过所需参数的计算画出比较精确的根轨迹。通过画实轴上的根轨迹图可知，有5条闭环根轨迹，其