历年高考数学难题

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1、历年高考难题[1984]七．（本题满分15分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为,b,c，且c=10，，P为△ABC的内切圆上的动点求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最小值解：由，运用正弦定理，有因为A≠B，所以2A=π-2B，即A+B=由此可知△ABC是直角三角形由c=10，如图，设△ABC的内切圆圆心为O＇，切点分别为D，E，F，则AD+DB+EC=但上式中AD+DB=c=10，YB（0，6）DEO＇P（x,y)XOC（0，0）A（8，0）所以内切圆半径r=EC=2.如图建

2、立坐标系，则内切圆方程为:(x-2)2+(y-2)2=4设圆上动点P的坐标为(x,y),则因为P点在内切圆上，所以，S最大值=88-0=88，S最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为从而因为，所以S最大值=80+8=88，S最小值=80-8=72八．（本题满分12分）设＞2，给定数列{xn},其中x1=,求证：1．2．3．1．证：先证明xn＞2(n=1,2,…）用数学归纳法由条件＞2及x1=知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k≥1)时成立当n=k+1时，因为由条件及归纳假

3、设知再由归纳假设知不等式成立，所以不等式也成立从而不等式xn＞2对于所有的正整数n成立(归纳法的第二步也可这样证：所以不等式xn>2(n=1,2,…）成立）再证明由条件及xn>2(n=1,2,…）知因此不等式也成立（也可这样证：对所有正整数n有还可这样证：对所有正整数n有所以）2．证一：用数学归纳法由条件x1=≤3知不等式当n=1时成立假设不等式当n=k(k≥1)时成立当n=k+1时，由条件及知再由及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式也成立，从而不等式对所有的正整数n成立证二：用数学

4、归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法：由条件知再由及归纳假设可得3．证：先证明若这是因为然后用反证法若当时，有则由第1小题知因此，由上面证明的结论及x1=可得即，这与假设矛盾所以本小题的结论成立九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）⌒如图，已知圆心为O、半径为1的圆与直线L相切于点A，一动点P自切点A沿直线L向右移动时，取弧AC的长为，直线PC与直线AO交于点M又知当AP=时，点P的速度为V求这时点M的速度MO1DθCAPL⌒解：作CD⊥AM，并设AP=x，AM=y，∠COD=θ由假设，A

5、C的长为，半径OC=1，可知θ考虑∵△APM∽△DCM，而[2002]（22）设数列满足：，（I）当时，求并由此猜测的一个通项公式；（II）当时，证明对所的，有（i）（ii）解（I）由，得由，得由，得由此猜想的一个通项公式：（）（II）（i）用数学归纳法证明：①当时，，不等式成立．②假设当时不等式成立，即，那么．也就是说，当时，据①和②，对于所有，有．（ii）由及（i），对，有……于是，[2001](20)(本小题满分12分)已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n．(Ⅰ)证明；(Ⅱ)证明(1＋m)

6、n＞(1＋n)m．本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分．（Ⅰ）证明：对于1＜i≤m有=m·…·(m－i＋1)，…，同理…，……4分由于m＜n，对整数k=1，2…，i－1，有，所以，即．……6分（Ⅱ）证明由二项式定理有，，……8分由(Ⅰ)知＞(1＜i≤m＜n＝，而，，……10分所以，(1＜i≤m＜n＝．因此，．又，，．∴．即(1＋m)n＞(1＋n)m．[2001](22)(本小题满分14分)设f(x)是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x=1对称．对任意x1，x

7、2∈[0，]都有f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)．且f(1)=a＞0．(Ⅰ)求f()及f()；(Ⅱ)证明f(x)是周期函数；(Ⅲ)记an=f(2n＋)，求．本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力．满分14分．（Ⅰ）解：因为对x1，x2∈[0，]，都有f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)，所以f()·f()≥0，x∈[0，1]．∵f()=f()·f()=[f()]2，f()f()=f()·f()=[f()]2．……3分，∴f(

8、)，f()．……6分（Ⅱ）证明：依题设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1＋1－x)，即f(x)=f(2－x)，x∈R．……8分又由f(x)是偶函数知f(－x)=f(x)，x∈R，∴f(－x)=f(2－x)，x∈R，将上式中－x以x代换，得f(x)=f(x＋2)，x∈R．这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期．……10分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知f(x)≥0，x∈[0，1]．∵f()=f(n·)=f(＋（n－1）·)=f()·f(（n－1）·)=f