《91up行测考点精讲》之公约数与公倍数问题

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1、公约数与公倍数问题知识框架在公务员的考试中，公约数与公倍数问题考查点只有两种类型。无论生活场景如何改变，同学只要牢牢把握这两种类型，就能轻松搞定公约数与公倍数问题。核心点拨1.题型简介（1）约数与倍数若数a能被b整除，则称数a为数b的倍数，数b为数a的约数。其中，一个数的最小约数是1，最大约数是它本身。（2）公约数与最大公约数几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个，称为这几个自然数的最大公约数。（3）公倍数与最小公倍数几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。公倍数中最小

2、的一个，称为这几个自然数的最小公倍数。考试题型一般是已知两个数，求它们的最大公约数或最小公倍数。2.核心知识（1）两个数最大公约数和最小公倍数一般采用短除法，即用共同的质因数连续去除，直到所得的商互质为止。A、把共同的质因数连乘起来，就是这两个数的最大公约数。B、把共同的质因数和各自独有的质因数连乘起来，就是这两个数的最小公倍数。如：求24、36的最大公约数与最小公倍数。24、36的最大公约数为其共同质因数的乘积，即2×2×3=12；24、36的最小公倍数为其共同质因数及独有质因数的乘积，即(2×2×3)

3、×(2×3)=72。（2）三个数最大公约数和最小公倍数A、求取三个数的最大公约数时，短除至三个数没有共同的因数（除1外），然后把所有共同的质因数连乘起来。B、求取三个数的最小公倍数时，短除到三个数两两互质，然后把共同的质因数和各自独有的质因数连乘起来。如：求24、36、90的最大公约数和最小公倍数。3.核心知识使用详解（1）两个数如果存在着倍数关系，那么较小的数就是其最大公约数，较大的数就是其最小公倍数。（2）互质的两个数的最大公约数是1，最小公倍数是它们的乘积。（3）利用短除法求取三个数的最大公约数和最

4、小公倍数时要注意二者的区别：求取三个数的最大公约数时，只需短除到三个数没有共同的因数（除l外）即可；而求取三个数的最小公倍数时，需要短除到三个数两两互质为止。（4）多于三个数的最大公约数与最小公倍数的求法与三个数的求法相似。夯实基础1.两个数的最大公约数和最小公倍数例1：(2005．福建)48与108的最大公约数是：A.6B.8C.24D.12【答案】D【解析】[题钥]“48与108的最大公约数”，两者没有倍数关系，可以选用短除法来求最大公约数。[解析]短除法：4和9除1以外没有共同的因数；最大公约数：把

5、共同的质因数连乘起来，就是这两个数的最大公约数，故48和108的最大公约数为：2×2×3=12。因此，选D。2.三个数的最大公约数和最小公倍数例2：三根铁丝，长度分别是120厘米，180厘米，300厘米，现在要把它们截成相等的小段，每段都不能有剩余，那么最少可截成多少段？A.8B.9C.10D.11【答案】C【解析】[题钥]这道例题中隐含了最大公约数的关系。“截成相等的小段”，即为求三数的公约数，“最少可截成多少段”，即为求最大公约数。[解析]短除法：2、3、5除以1以外没有共同的因数；最大公约数：把共同

6、的质因数连乘起来，就是这三个数的最大公约数，故120、180和300的最大公约数为：2×2×3×5=60。所以每小段的长度最大是60厘米，一共可截成120÷60+180÷60+300÷60=10段。因此，选C。进阶训练1.两个数的最大公约数和最小公倍数例3：（2007．江西）能被15和12整除的最小正整数是：A.60B.120C.180D.30【答案】A【解析】[题钥]“能被15和12整除的最小正整数”即为15和12的最小公倍数，采用短除法来求最小公倍数[解析]短除法：5和4除1以外没有共同的因数；最小公

7、倍数：把共同的质因数和各自独有的质因数连乘起来，就是这两个数的最小公倍数，所以15和12的最小公倍数为：3×5×4=60。因此，选A。2.三个数的最大公约数和最小公倍数例4：6枚1分硬币叠在一起与5枚2分硬币一样高，6枚2分硬币叠在一起与5枚5分硬币一样高，如果用1分、2分、5分硬币分别叠成的三个圆柱体一样高，这些硬币的币值为4元4角2分，那么这三种硬币总共有多少枚？A.180B.181C.182D.183【答案】C【解析】[题钥]此题解题的关键点是要确定多少枚1分、2分或5分的硬币叠成的圆柱体高度相同。

8、[解析]根据“6枚1分硬币叠在一起与5枚2分硬币一样高，6枚2分硬币叠在一起与5枚5分硬币一样高”，其中6、5、5的最小公倍数为30，则：36枚1分硬币、30枚2分硬币、25枚5分硬币叠成的圆柱体一样高；此时这些硬币的币值之和为221分，恰好为2元2角1分，是4元4角2分的一半，故4元4角2分由72枚1分硬币、60枚2分硬币和50枚5分硬币组成，即共有硬币72+60+50=182枚。因此，选C。例5.(2008.国考)甲、乙、