7_二次根式_练习1

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1、《第二章7　二次根式》讲解与例题1．二次根式的定义一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数．【例1－1】下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？，，，，，，－，，.解：二次根式有：，，，－；不是二次根式的有：，，，，.析规律二次根式的条件二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0.【例1－2】当x是多少时，在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x－1≥0时，才有意义．解：由3x－1≥0，得x≥.因此当x≥时，在实数范围内有意义．点技巧二次根式有

2、意义的条件二次根式有意义的条件是，被开方数是非负数，即被开方数一定要大于或等于0.2．积的算术平方根用“＞，＜或＝”填空．______×，______×，______×.根据上面的计算我们可得出：即：积的算术平方根，等于各算术平方根的积．【例2】化简：(1)；(2)；(3)；(4).分析：利用＝·(a≥0，b≥0)直接化简即可．解：(1)＝×＝3×4＝12.(2)＝×＝4×9＝36.(3)＝×＝9×10＝90.(4)＝＝×＝3.点评：利用积的算术平方根的性质可对二次根式进行化简，使其不含能开得尽方的因数或因式．3．商的算术平方根填空：(1)＝_________

3、_，＝__________；(2)＝__________，＝__________；(3)＝__________，＝__________；(4)＝__________，＝__________.规律：______；______；______；______.通过计算容易得出上面的式子都是相等的．因此，即：商的算术平方根等于各算术平方根的商．【例3】化简：(1)；(2)；(3)；(4).分析：直接利用＝(a≥0，b＞0)就可以达到化简之目的．解：(1)＝＝.(2)＝＝.(3)＝＝.(4)＝＝.4．最简二次根式最简二次根式应满足以下两个条件：(1)被开方数不含分母；(2

4、)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．所以，化简二次根式时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式．【例4】把下列根式化成最简二次根式：(1)，(2)，(3)，(4).解：(1)＝＝2.(2)＝＝2.(3)＝＝＝＝.(4)＝＝.点评：化简二次根式时，要求最终结果中分母不含有根号，应利用二次根式的有关性质化掉分母中的根号．5．二次根式的乘除二次根式的乘法：二次根式的除法：即：二次根式相乘除，只把被开方数相乘除，结果仍然作为被开方数．【例5】计算：(1)×；(2)×；(3)÷；(4).分析：直接利用·＝(a≥0，b≥0)和＝(a≥0，b＞0

5、)计算即可．解：(1)×＝.(2)×＝＝.(3)÷＝＝＝＝2.(4)＝＝＝2.6．二次根式的加减计算下列各式：(1)2x＋3x；(2)2x2－3x2＋5x2；(3)x＋2x＋3y；(4)3a2－2a2＋a3.上面的题目，实际上为同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．计算下列各式：(1)2＋3；(2)2－3＋5；(3)＋2＋；(4)3－2＋.分析：(1)如果我们把当成x，不就转化为上面的问题了吗？2＋3＝(2＋3)＝5.(2)把当成y；2－3＋5＝(2－3＋5)＝4＝8.(3)把当成z；＋2＋·＝＋2＋3＝(1＋2＋3)＝6.(4)把看为x，看为y.3

6、－2＋＝(3－2)＋＝＋.因此，二次根式的被开方数相同的话是可以合并的．二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【例6】计算：(1)＋；(2)＋；(3)3－9＋3；(4)(＋)＋(－)．分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．解：(1)＋＝2＋3＝(2＋3)＝5.(2)＋＝4＋8＝(4＋8)＝12.(3)3－9＋3＝12－3＋6＝(12－3＋6)＝15.(4)(＋)＋(－)＝＋＋－＝4＋2＋2－＝6＋.7．化简(1)计算：＝4，＝0.2，＝，＝20，观察其结果与根

7、号内幂底数的关系，归纳得到：当a＞0时，＝a.(2)计算：＝4，＝0.2，＝，＝20，观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a＜0时，＝－a.(3)计算：＝0，当a＝0时，＝0.(4)将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：＝

8、a

9、＝【例7－1】化简：(1)；(2)；(3)；(4).分析：因为(1)9＝32，(2)(－4)2＝42，(3)25＝52，(4)(－3)2＝32，所以都可运用＝a(a≥0)去化简．解：(1)＝＝3.(2)＝＝4.(3)＝＝5.(4)＝＝3.【例7－2】先化简再求值：当a＝9时，求a＋的值，甲、乙两

10、人的解答如下：甲的解答为：原式＝a＋＝