高中数学 2.2.3向量数乘运算及其几何意义课时跟踪检测 新人教a版必修4

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1、【优化指导】2015年高中数学2.2.3向量数乘运算及其几何意义课时跟踪检测新人教A版必修4考查知识点及角度难易度及题号基础中档稍难向量的线性运算211用已知向量表示其他向量57共线向量定理的运用1、46、8、10综合问题39、12131．平面向量a，b共线的充要条件是(　　)A．a，b方向相同B．a，b两向量中至少有一个为零向量C．存在λ∈R，b＝λaD．存在不全为零的实数λ1、λ2，λ1a＋λ2b＝0解析：注意向量a，b是否为零向量，分类讨论．若a，b均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数λ1、λ2，使得λ1a＋λ2b＝0；若a≠0，则由两向量共线知

2、，存在λ≠0，使得b＝λa，即λa－b＝0，符合题意，故选D.答案：D2．化简4(a－b)－3(a＋b)－b＝(　　)A．a－2b　　　　　　　　B．aC．a－6b　D．a－8b解析：原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.答案：D3．给出下面四个结论：①对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb；②对于实数m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb(m∈R)，有a＝b；④若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，有m＝n.其中正确的结论个数是(　　)A．1　B．2C．3　D．4解析：①正确．因为实数与向量的积满足分配律．②正确．因为实数

3、与向量的积满足结合律．③错误．因为若m＝0，则a，b可以是任意向量．④正确．因为由ma＝na，得(m－n)a＝0，又a≠0，所以m－n＝0，即m＝n.故选C.答案：C4．已知向量a，b，若＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)A．A、B、D　B．A、B、CC．B、C、D　D．A、C、D解析：∵＋＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2，即＝2，∴∥.又∵，都有公共点B，∴A，B，D三点共线．答案：A5．若＝t(t∈R)，O为平面上任意一点，则＝________________.(用，表示)解析：＝t，－＝t(－)，＝

4、＋t－t＝(1－t)＋t.答案：(1－t)＋t6．设a，b是两个不共线的非零向量，若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________.解析：由题意知，ka＋2b＝λ(8a＋kb)(λ＜0)．∴(k－8λ)a＋(2－λk)b＝0.又a，b不共线，∴解得λ＝－，k＝－4.答案：－47.如图在边长为a的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD中点，设＝a，＝b，试用a，b表示向量，.解：因为＝＋＝a，＝＋＝b，所以解得＝a－b，＝b－a.8．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件是(　　)A．λ＝0　B．e2＝0C．e1∥e

5、2　D．e1∥e2或λ＝0解析：当e1∥e2时，易知a与b共线；若e1与e2不共线，设a＝kb，则有e1＋λe2＝k·2e1，即(1－2k)e1＋λe2＝0，于是所以因此若a∥b，则e1∥e2或λ＝0.故选D.答案：D9．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为(　　)A．梯形　B．平行四边形C．菱形　D．矩形解析：＝a＋2b，＝－5a－3b，因为a与b不共线，所以与不共线．所以AB与CD不平行．又＝＋＋＝－8a－2b，显然＝2.所以AD∥BC.所以四边形ABCD为梯形．故应选A.答案：A10.如图，在△A

6、BC中，D，E分别在AB，AC上，且＝＝，则＝______.解析：∵＝＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.∴＝.又与同向，∴＝.答案：11．已知向量a，b.(1)计算：6a－[4a－b－5(2a－3b)]＋(a＋7b)；(2)把满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b的向量x，y用a，b表示出来．解：(1)原式＝6a－(4a－b－10a＋15b)＋a＋7b＝6a－(－6a＋14b)＋a＋7b＝6a＋6a－14b＋a＋7b＝13a－7b.(2)①×4＋②×3，得(12x－8y)＋(－12x＋9y)＝4a＋3b，即y＝4a＋3b，代入①式，得x＝(a＋2y)＝(a＋8a

7、＋6b)＝3a＋2b，∴x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.12.如图，ABCD为一个四边形，E、F、G、H分别为BD、AB、AC和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．证明：∵F、G分别是AB、AC的中点，∴＝.同理，＝.∴＝.∴四边形EFGH为平行四边形．13．已知△ABC中，＝a，＝b.对于平面ABC上任意一点O，动点P满足＝＋λa＋λb，λ∈[0，＋∞)．试问动点P的轨迹是否过△ABC内的某一个定点？说明理由．解：以AB，AC为邻边作▱ABDC，设对角线AD、BC交于点E，＝＝(a＋b)．由＝＋λa＋λb得到－＝＝2λ·(a＋b)＝2λ，λ∈[0，＋∞

8、)，∴与共