第九篇 第8讲 曲线与方程

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1、第8讲曲线与方程A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．动点P(x，y)满足5＝

2、3x＋4y－11

3、，则点P的轨迹是(　　)．A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线解析　设定点F(1,2)，定直线l：3x＋4y－11＝0，则

4、PF

5、＝，点P到直线l的距离d＝.由已知得＝1，但注意到点F(1,2)恰在直线l上，所以点P的轨迹是直线．选D.答案　D2．(2013·榆林模拟)若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为(　　)．A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析　依题意，点P到直线x＝－2的

6、距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．答案　D3．(2013·临川模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为(　　)．A.－＝1B.＋＝1C.－＝1D.＋＝1解析　M为AQ垂直平分线上一点，则

7、AM

8、＝

9、MQ

10、，∴

11、MC

12、＋

13、MA

14、＝

15、MC

16、＋

17、MQ

18、＝

19、CQ

20、＝5，故M的轨迹为椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，∴椭圆的标准方程为＋＝1.答案　D4．(2013·烟台月考)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1

21、,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且

22、PM

23、＝

24、MQ

25、，则Q点的轨迹方程是(　　)．A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0解析　由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x，4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.答案　D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·九江月考)在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B，C(a>0)，且满足条件sinC－sinB＝sinA，则动点A的轨迹方程是________．解析　由正弦定理，得－＝×，∴

26、AB

27、－

28、AC

29、＝

30、BC

31、，且为双曲线右支．答

32、案　－＝1(x>0且y≠0)6.如图，点F(a,0)(a>0)，点P在y轴上运动，M在x轴上运动，N为动点，且·＝0，＋＝0，则点N的轨迹方程为________．解析　由题意，知PM⊥PF且P为线段MN的中点，连接FN，延长FP至点Q使P恰为QF之中点；连接QM，QN，则四边形FNQM为菱形，且点Q恒在直线l：x＝－a上，故点N的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线，其方程为：y2＝4ax.答案　y2＝4ax三、解答题(共25分)7．(12分)已知长为1＋的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且＝，求点P的轨迹C的方程．解　

33、设A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，＝，又＝(x－x0，y)，＝(－x，y0－y)，所以x－x0＝－x，y＝(y0－y)，得x0＝x，y0＝(1＋)y.因为

34、AB

35、＝1＋，即x＋y＝(1＋)2，所以2＋[(1＋)y]2＝(1＋)2，化简得＋y2＝1.∴点P的轨迹方程为＋y2＝1.8．(13分)设椭圆方程为x2＋＝1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，点P满足＝(＋)，点N的坐标为，当直线l绕点M旋转时，求：(1)动点P的轨迹方程；(2)

36、

37、的最大值，最小值．解　(1)直线l过定点M(0,1)，当其斜率存在时设为k，则l的

38、方程为y＝kx＋1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，A、B的坐标满足方程组消去y得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0.则Δ＝4k2＋12(4＋k2)>0.∴x1＋x2＝－，x1x2＝.P(x，y)是AB的中点，则由消去k得4x2＋y2－y＝0.当斜率k不存在时，AB的中点是坐标原点，也满足这个方程，故P点的轨迹方程为4x2＋y2－y＝0.(2)由(1)知4x2＋2＝，∴－≤x≤而

39、NP

40、2＝2＋2＝2＋＝－32＋，∴当x＝－时，

41、

42、取得最大值，当x＝时，

43、

44、取得最小值.B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分)一、选择题(每小题5分，共1

45、0分)1．(2012·全国)正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为(　　)．A．16B．14C．12D．10解析　当E、F分别为AB、BC中点时，显然碰撞的结果为4，当E、F分别为AB的三等分点时，可得结果为6(如图1所示)．可以猜想本题碰撞的结果应为2×7＝14(如图2所示)．故选B.答案　B2．(2013·沈阳二模)在平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AD＝2AB，若P是平面ABCD内一

46、点，且满足：x＋y＋＝0(x，y∈R)．则当点P在以A为圆心，

47、

48、