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1、定积分在经济学中的应用国会2班李怡雯1420110513内容摘要：一直以来，定积分都是大学数学中的重要内容，它是解决实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，所以本文对定积分的概念以及它在经济学上的应用做了重点研究，并利用一些例题对定积分在经济学上的应用进行了举例分析。关键词：定积分微分经济学边际函数投资1.定积分在边际函数中的应用积分是微分的逆运算，因此，用积分的方法可以由边际函数求出总函数.设总量函数P(x)在区间I上可导，其边际函数为P′(x)，[a,x]∈I，则总有函数当x从a变到b时，P(x)的改变量为将x改为产量
2、Q，且a=0时，将P(x)代之以总成本C(Q)、总收入R(Q)、总利润L(Q)，可得其中即为固定成本，为可变成本．（因为）例1。已知某公司独家生产某产品，销售Q单位商品时，边际收入函数为（元/单位）（a>0,b>0,c>0）求：(1)公司的总收入函数；(2)该产品的需求函数.解：(1)总收入函数为===(2)设产品的价格为P，则，得需求函数为2.利用定积分由变化率求总量问题如果求总函数在某个范围的改变量,则直接采用定积分来解决。例2已知某产品总产量的变化率为(件/天),求从第5天到第10天产品的总产量。解所求的总产量为(件)3.
3、利用定积分求经济函数的最大值和最小值例3设生产x个产品的边际成本C=100+2x,其固定成本为元,产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少时利润最大?并求出最大利润。解总成本函数为=总收益函数为R(x)=500x总利润函数为L(x)=R(x)-C(x)==400-2x令=0,得x=200因为(200)<0所以,生产量为200单位时,利润最大。最大利润为L(200)=400200--1000=39000(元)。4?利用定积分求消费者剩余与生产者剩余在经济管理中,一般说来,商品价格低,需求就大;反之,商品价
4、格高,需求就小,因此需求函数Q=f(P)是价格P的单调递减函数。同时商品价格低,生产者就不愿生产,因而供给就少;反之,商品价格高,供给就多,因此供给函数Q=g(P)是价格P的单调递增函数。由于函数Q=f(P)与Q=g(P)都是单调函数,所以分别存在反函数P=与P=,此时函数P=也称为需求函数,而P=也称为供给函数。需求曲线(函数)P=与供给曲线(函数)P=的交点A(P*,Q*)称为均衡点。在此点供需达到均衡。均衡点的价格P*称为均衡价格,即对某商品而言,顾客愿买、生产者愿卖的价格。如果消费者以比他们原来预期的价格低的价格(如均衡
5、价格)购得某种商品,由此而节省下来的钱的总数称它为消费者剩余。假设消费者以较高价格P=购买某商品并情愿支付,Q*为均衡商品量,则在[Q,Q+]内消费者消费量近似为,故消费者的总消费量为,它是需求曲线P=在与Q*之间的曲边梯形OQ*的面积,如图如果商品是以均衡价格P*出售,那么消费者实际销售量为P*Q*,因此,消费者剩余为它是曲边三角形的面积。如果生产者以均衡价格P*出售某商品,而没有以他们本来计划的以较低的售价出售该商品,由此所获得的额外收入,称它为生产者剩余。同理分析可知:P*Q*是生产者实际出售商品的收入总额,是生产者按原计
6、划以较低价格售出商品所获得的收入总额,故生产者剩余为它是曲边三角形的面积。例4.设某产品的需求函数是P=。如果价格固定在每件10元,试计算消费者剩余。解已知需求函数P=,首先求出对应于P*=10的Q*值,令=10,得Q*=10000。于是消费者剩余为==(30Q-=66666.67(元)。例5. 设需求函数Q＝8-，供给函数Q＝，求消费者剩余和生产者剩余.解: 首先求出均衡价格与供需量.得＝15，＝3.令8-＝0，得P1＝24，令＝0，得＝9，代入(3)、(4)式得CS＝，PS＝.5.利用定积分计算资本现值和投资对于一个正常运营
7、的企业而言，其资金的收入与支出往往是分散地在一定时期发生的，比如购买一批原料后支出费用，售出产品后得到货款等等.但这种资金的流转在企业经营过程中经常发生，特别对大型企业，其收入和支出更是频繁的进行着.在实际分析过程中为了计算的方便，我们将它近似地看做是连续地发生的，并称之为收入流(或支出流).若已知在t时刻收入流的变化率为f(t)(单位：元/年、元/月等)，那么如何计算收入流的终值和现值呢?企业在［0，T］这一段时间内的收入流的变化率为f(t)，连续复利的年利率为r.为了能够利用计算单笔款项现值的方法计算收入流的现值，将收入流分
8、成许多小收入段，相应地将区间［0，T］平均分割成长度为Δt的小区间.当Δt很小时，f(t)在每一子区间内的变化很小，可看做常数，在t与t+Δt之间收入的近似值为f(t)Δt，相应收入的现值为f(t)e-rtΔt，再将各小时间段内收入的现值相加并取极限，可求总收入
