中南大学工程硕士(工程数学)试卷

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1、一、填空题1.若函数,写出Newton迭代公式解：，牛顿迭代公式为2.建立最优化问题数学模型的三个要素是：目标函数、决策变量、约束条件；3.随机变量服从参数为的指数分布即分布密度为,是样本均值，则；4.写出矩阵的乔勒斯基（Cholesky）分解矩阵L=；Cholesky分解要求矩阵是实对称和正定的，基本思想是分成一个下三角矩阵与其转置的乘积：所以，，，.......就可以算出所有的项5.设由一组观测数据计算得则y对x的线性回归方程为,其误差估计为；线性回归方程的公式是，其中，所以回归方程是误差，貌似现有条件求不出具体值6．设，则差商（差商解释见第二大题）；7．对方程，给出迭代计

2、算公式，使其收敛到方程的正数根第二套第一题，；8．已知函数过点，，设函数是的三次样条插值函数，则在内的二阶导数是连续的。二、已知的数据如表：-10233-215选用适合的插值法求的三次插值多项式，计算的近似值，给出误差估计式。解：用三次牛顿插值法(ABC....表示表格的位置，方便看清楚怎么算差商)xf(x)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商-1A3F0B-2GK2C1HOQ3D5IPRS2.8E-4.462JTUV因此，三次牛顿插值多项式为：于是误差估计式：三、设有5种治疗荨麻疹的药，要比较它们的疗效。假定将30个病人分成5组，每组6人，令同组病人使用一种药，并记录病人从使用药

3、物开始到痊愈所需时间，得到下表的记录：药物治愈所需天数和平方和123455，8，7，7，10，114，6，6，3，5，66，4，4，3，4，37，4，6，6，3，49，3，5，7，6，64830243036408158102162236总和1681066试检验不同药物对病人的痊愈时间有无差别？（取）答：检验假设全不相等已知：，，方差来源平方和自由度均方（F值）F比（P值）因素A55.24（s-1）13.8（=55.2/4）4.929（=13.8/2.8）误差7025（n-s）2.8（=70/25）总和125.229因为，P=4.929>2.76，所以认为不同药物对病人的痊愈时间

4、有显著差别。四、某厂利用劳动力8个、电力4千瓦、煤2吨可以生产甲产品1吨，获利20万元；利用劳动力3个、煤1吨可以生产乙产品1吨，获利8万元；利用劳动力2个、电力3千瓦可以生产丙产品1吨，获利6万元；工厂现有劳动力250个、电力150千瓦、煤50吨。（1）建立使工厂获利最大的生产安排计划数学模型；（2）将模型标准化；利用单纯形法求解，列出求解过程。答：（1）设该厂每天生产甲、乙、丙产品x、y、z吨，依题意可得约束条件：利润目标函数：（2）标准化以后的模型初始单纯型表格为：xyzjkhCBXBb20860000j250832100250/8=31.250k5021001050/2

5、=250h150403001150/4=37.5Z0000002086000经过三步迭代以后，其最优解为，最优值为。五、证明含有个插值节点的插值型求积公式的代数精度至少是。证明：因为插值的条件是，所以由上式知求积公式的代数精度必定会大于等于n。六、为了控制生产过程，需要对产品质量进行检验，当产品的一等品率达到95%时，生产过程是稳定的，现对产品进行适时检验，抽取了200件，结果一等品数为186二等品数为12，不合格品数为2。试问此时生产过程是否稳定？解：设这一批产品的二等品数和不合格品数产品为p，我们做假设做统计量因为，样本观测值大于了，落入了拒绝域中，所以此时生产过程是不稳定

6、的。七、设方程组为（1）对任取的初始迭代点，直接使用Jacobi迭代法解该方程组，是否收敛？说明原因。（2）对方程组进行适当调整，使得用Jacobi方法、Gauss-Seidel迭代法求解时收敛。（3）取，用Gauss-Seidel迭代法在（2）的基础上计算两步迭代值，。此题类似于第二套的第三大题，在那里讲得比较详细解：（1）先求的迭代矩阵，为，因为（行和范数，每行元素绝对值之和的最大值），所以对任取的初始迭代点，直接使用Jacobi迭代法解该方程组，不会收敛。（也可以直接说是因为系数矩阵不是严格对角占优矩阵，意思一样）。（2）调整为，类似第二套的第三大题用Jacobi方法求解

7、。Gauss-Seidel迭代法与Jacobi方法类似，只有一点不同，就是提前使用了！Jacobi方法的迭代格式：Gauss-Seidel方法的迭代格式：（3）将代入进行计算。