平面解析几何(直线和圆的方程、圆锥曲线)专题

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1、平面解析几何（直线和圆的方程、圆锥曲线）专题17.0圆锥曲线几何性质如果涉及到其两“焦点”，优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到其“焦点”、“准线”或“离心率”，优先选用圆锥曲线第二定义；此外，如果涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用.椭圆方程的第一定义：双曲线的第一定义：圆锥曲线第二定义（统一定义）：平面内到定点F和定直线的距离之比为常数的点的轨迹．简言之就是“（数的统一）”，椭圆，双曲线，抛物线相对关系（形的统一）如右图.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双

2、曲线；当时，轨迹为圆（，当时）．圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、圆锥曲线的变化趋势.其中，椭圆中、双曲线中.圆锥曲线的焦半径公式如下图：特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其“顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点.17.1圆锥曲线中的精要结论：1.焦半径：(1)椭圆：；（左“+”右“-”）；椭圆：(2)双曲线：“长加短减”原则：构成满足（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）双曲线：；(2)抛物线：2.弦长

3、公式：；【注】：(1)焦点弦长：i．椭圆：；ii．抛物线：＝；(2)通径（最短弦）：i．椭圆、双曲线：；ii．抛物线：.3.过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：（同时大于0时表示椭圆，时表示双曲线）；4.椭圆中的结论：(1)内接矩形最大面积：；(2)P，Q为椭圆上任意两点，且，则；(3)椭圆焦点三角形：i．，（）；ii．点是内心，交于点，则；(4)当点与椭圆短轴顶点重合时最大；(5)共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是，我们称此方程为共离心率的椭圆系方程．5.双曲线中的结论：(1

4、)双曲线（）的渐近线：；(2)共渐进线的双曲线标准方程为为参数，≠0）；(3)双曲线焦点三角形：i．，（）；ii．是双曲线－=1(a＞0，b＞0)的左（右）支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为；(4)等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为(渐近线互相垂直)，离心率．(5)共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为．(6)共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线．与互为共轭双曲线，它们具

5、有共同的渐近线：．(7)若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m=n，则P到两准线的距离比为m︰n．简证：=．常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b．(8)直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线．小结：过定点作直线与

6、双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条．若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号．6.抛物线中的结论：(1)抛物线的焦点弦性质：i．；；ii．；iii．以为直径的圆与准线相切；iv．以（或）为直径的圆与轴相切；v．.(2)抛物线内结直角三角形的性质：i．；ii．恒过定点；iii．中点轨迹方程：；iv．，则轨迹方程为：；v．.(3)抛物线，对称轴上一定点，则：i．当时，顶点到点距离最小，最小值为；ii．当时，抛物线上有关于轴对称的

7、两点到点距离最小，最小值为.17.2、两个常见的曲线系方程(1)过曲线,的交点的曲线系方程是(为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中.当时,表示椭圆；当时,表示双曲线.17.3、圆1、圆系方程(1)过点,的圆系方程是,其中是直线的方程,λ是待定的系数．(2)过直线:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数．(3)过圆:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数．特别地，当时，就是表示：①当两圆相交时，为公共弦所在的直线方程；②向两圆所引切线长相等的点的轨迹（直线）方程，有的称这条直线为根轴；2、点与圆的位置

8、关系：点与圆的位置关系有三种若，则点在圆外；点在圆上；点在圆内.3、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种():；；.4、两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为半径分别为，；；；；.5、圆的切线方程及切线长公式(1)已知圆．①若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是.当圆外时,表示过两个切点的切点弦方程．求切点弦方程，还可以通过连心线为直径的圆与原圆