线性规划的对偶问题

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1、第二章线性规划的对偶问题第二章线性规划的对偶问题习题2.1写出下列线性规划问题的对偶问题(1)maxz=10x1+x2+2x3(2)maxz=2x1+x2+3x3+x4st.x1+x2+2x3≤10st.x1+x2+x3+x4≤54x1+x2+x3≤202x1-x2+3x3=-4xj≥0(j=1,2,3)x1-x3+x4≥1x1,x3≥0,x2,x4无约束(3)minz=3x1+2x2-3x3+4x4(4)minz=-5x1-6x2-7x3st.x1-2x2+3x3+4x4≤3st.-x1+5x2-3x3≥15x2+

2、3x3+4x4≥-5-5x1-6x2+10x3≤202x1-3x2-7x3-4x4=2=x1-x2-x3=-5x1≥0,x4≤0,x2,,x3无约束x1≤0,x2≥0,x3无约束2.2已知线性规划问题maxz=CX,AX=b,X≥0。分别说明发生下列情况时,其对偶问题的解的变化:(1)问题的第k个约束条件乘上常数λ(λ≠0);(2)将第k个约束条件乘上常数λ(λ≠0)后加到第r个约束条件上;(3)目标函数改变为maxz=λCX(λ≠0);(4)模型中全部x1用3代换。2.3已知线性规划问题minz=8x1+6x2+3

3、x3+6x4st.x1+2x2+x4≥33x1+x2+x3+x4≥6x3+x4=2x1+x3≥2xj≥0(j=1,2,3,4)(1)写出其对偶问题;(2)已知原问题最优解为x*=(1,1,2,0),试根据对偶理论,直接求出对偶问题的最优解。2.4已知线性规划问题minz=2x1+x2+5x3+6x4对偶变量st.2x1+x3+x4≤8y12x1+2x2+x3+2x4≤12y2xj≥0(j=1,2,3,4)其对偶问题的最优解y1*=4;y2*=1,试根据对偶问题的性质,求出原问题的最优解。51第二章线性规划的对偶问题2

4、.5考虑线性规划问题maxz=2x1+4x2+3x3st.3x1+4x2+2x3≤602x1+x2+2x3≤40x1+3x2+2x3≤80xj≥0(j=1,2,3)(1)写出其对偶问题(2)用单纯形法求解原问题,列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解;(3)用对偶单纯形法求解其对偶问题,并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解;(4)比较(2)和(3)计算结果。2.6已知线性规划问题maxz=10x1+5x2st.3x1+4x2≤95x1+2x2≤8xj≥0(j=1,2)用单纯形法求得

5、最终表如下表所示:x1x2x3x4bx201—x110—1sj=cj-Zj00——试用灵敏度分析的方法分别判断:(1)目标函数系数c1或c2分别在什么范围内变动,上述最优解不变;(2)约束条件右端项b1,b2,当一个保持不变时,另一个在什么范围内变化,上述最优基保持不变;(3)问题的目标函数变为maxz=12x1+4x2时上述最优解的变化;(4)约束条件右端项由变为时上述最优解的变化。2.7线性规划问题如下:maxz=—5x1+5x2+13x3st.—x1+x2+3x3≤20①12x1+4x2+10x3≤90②xj≥

6、0(j=1,2,3)先用单纯形法求解,然后分析下列各种条件下,最优解分别有什么变化?(1)约束条件①的右端常数由20变为30;51第二章线性规划的对偶问题(1)约束条件②的右端常数由90变为70;(2)目标函数中x3的系数由13变为8;(3)x1的系数列向量由(—1,12)T变为(0,5)T;(4)增加一个约束条件③:2x1+3x2+5x3≤50;(5)将原约束条件②改变为:10x1+5x2+10x3≤100。2.8用单纯形法求解某线性规划问题得到最终单纯形表如下:cj基变量50401060Sx1x2x3x4ac01

7、16bd1024sj=cj-Zj00efg(1)给出a,b,c,d,e,f,g的值或表达式;(2)指出原问题是求目标函数的最大值还是最小值;(3)用a+Da,b+Db分别代替a和b,仍然保持上表是最优单纯形表,求Da,Db满足的范围。2.9某文教用品厂用原材料白坯纸生产原稿纸、日记本和练习本三种产品。该厂现有工人100人,每月白坯纸供应量为30000千克。已知工人的劳动生产率为:每人每月可生产原稿纸30捆,或日记本30打,或练习本30箱。已知原材料消耗为:每捆原稿纸用白坯纸千克,每打日记本用白坯纸千克,每箱练习本用白

8、坯纸千克。又知每生产一捆原稿纸可获利2元,生产一打日记本获利3元,生产一箱练习本获利1元。试确定:(1)现有生产条件下获利最大的方案;(2)如白坯纸的供应数量不变,当工人数不足时可招收临时工,临时工工资支出为每人每月40元,则该厂要不要招收临时工?如要的话,招多少临时工最合适?2.10某厂生产甲、乙两种产品,需要A、B两种原料,生产消耗等参数如

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