通信原理(陈启兴版)第10章课后习题答案

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1、第10章正交编码与伪随机序列10.1学习指导10.1.1要点正交编码与伪随机序列的要点主要包括正交编码的概念、常见的正交编码和伪随机序列。1.正交编码的概念对于二进制信号，用一个数字序列表示一个码组。这里，我们只讨论二进制且码长相同的编码。两个码组的正交性可用它们的互相关系数来表述。设码长为n的编码中码元只取值+1和-1。如果x和y是其中的两个码组：x=(x1,x2,…,xn)，y=(y1,y2,…,yn)，其中，xi,yi∈{+1,-1}，i=1,2,…,n，则码组x和y的互相关系数被定义为2.如果码组x和y正交，则r(x,y)=0。两两正交的编码称为正交编码。类似地，我们还可以定义一个

2、码组的自相关系数。一个长为n的码组x的自相关系数被定义为其中，x的下标按模n运算，即xn＋kºxk。在二进制编码理论中，常采用二进制数字“0”和“1”表示码元的可能取值。若规定用二进制数字“0”代替上述码组中的“-1”，用二进制数字“1”代替“+1”，则码组x和y的互相关系数被定义为其中，a表示码组x和y中对应码元相同的个数，b表示码组x和y中对应码元不同的个数。例如，对于4个码组：x1=(1,1,1,1)，x2=(1,1,0,0)，x3=(1,0,0,1)，x4=(1,0,1,0)，它们任意两者之间的相关系数都为0。对于采用二进制数字“0”和“1”表示的码元，若用x的j次循环移位代替y，

3、就得到x的自相关系数rx(j)。比如，如果一个长为n的码组x=(x1,x2,…,xn)，则y=(x1+j,x2+j,…,xn,x1,x2,…,xj)。根据上式计算出码组x和y的互相关系数就是码组x的自相关系数。显然，无论是采用二进制数字“0”和“1”表示的码元，还是采用二进制数字“+1”和“-1”表示的码元，互相关系数和自相关系数都是在1与-1之间取值。若两个码组间的互相关系数r<0，则称这两个码组互相超正交。如果一种编码中任意两码组之间均超正交，则称这种编码为超正交码。例如，对于3个码组：x1=(+1,+1,+1)，x2=(+1,-1,-1)，x3=(-1,-1,+1)，由它们构成的编码

4、是超正交码。由正交编码和其反码构成的编码就是双正交编码。例如，4个码组：x1=(+1,+1,+1,+1)，x2=(+1,+1,-1,-1)，x3=(+1,-1,-1,+1)，x4=(+1,-1,+1,-1)，其反码为：y1=(-1,-1,-1,-1)，x2=(-1,-1,+1,+1)，x3=(-1,+1,+1,-1)，x4=(-1,+1,-1,+1)。这8个码组构成的编码就是双正交编码，任意两个码组之间的互相关系数r为0或-1。2．常见的正交编码常见的正交编码有Hadamard码矩阵、Walsh矩阵和伪随机序列等。Hadamard码矩阵是法国数学家M.J.Hadamard于1893年首先构

5、造出来的一种方阵，仅由元素+1和-1构成，而且其任意两行(列)之间是互相正交的，简记为H矩阵。H矩阵的最低阶数为2，即为了简便起见，把上式中的＋1和－1简写为＋和－，上式就表示为阶数为2k的高阶H矩阵从下列递推关系得出其中，k为正整数，是直积运算。上式的直积运算是指将矩阵Hk/2中的每一个元素用矩阵H2代替，比如，H2矩阵、H4矩阵和H8矩阵都是对称矩阵，而且第一行和第一列的元素全为“＋”，我们把这样的H矩阵称为Hadamard码矩阵的正规形式，或称为正规Hadamard码矩阵。在H矩阵中，交换任意两行或两列，或改变任一行或列中每个元素的符号，都不会影响矩阵的正交性质。因此，正规H矩阵经过

6、上述各种交换或改变后仍为H矩阵，但不一定是正规的了。按照递推关系式可以构造出所有2k阶的H矩阵。可以证明，高于2阶的H矩阵的阶数一定是4的倍数。不过，以4的倍数作为阶数是否一定存在H矩阵，这一问题并未解决。H矩阵是正交方阵。如果把其中每一行看作是一个码组，则这些码组也是互相正交的，而整个H矩阵就是一种码长为n的正交编码，它包含n个码组。因为长度为n的编码共有2n个不同码组，如果只将这n个码组作为许用码组，其余(2n-n)个为禁用码组，则可以将其多余度用来纠错。这种编码在纠错编码理论中称为Reed-Muller码。Walsh函数的定义常用三角函数法、拉德马赫函数乘积表示法、Hadamard矩

7、阵表示法和递推公式法等。这里介绍Walsh函数的递推公式形式，其定义为其中，j=0,1,2,…,q=0或1，[j/2]表示j/2的整数部分。为了便于理解，做以下几点说明：(1)当把Wal(j,t)改成Wal(j,2t)时，表示保持波形相对形状不变，只是将时基从-1/2≤t≤1/2压缩到-1/4≤t≤1/4；(2)当把Wal(j,2t)改成Wal[j,2(t±1/4)]时，表示保持波形相对形状不变，只是将波形向左(对应“+