圆锥曲线概念、方法、题型、易误点技巧总结

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1、圆锥曲线概念、方法、题型、易误点技巧总结1.圆锥曲线的两个定义：　（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于，定义中的“绝对值”与不可忽视。若，则轨迹是以为端点的两条射线，若，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如：①已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是A．          B．C．       

2、 D．（答：C）；②方程表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）　（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。  如已知点及抛物线上一动点P（x,y）,则y+

3、PQ

4、的最小值是_____（答：2）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：　（1）椭圆：焦点在x轴上时（参数方程，其中为参数），焦点在y轴

5、上时。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。比如：已知方程表示椭圆，则k的取值范围为____（答：）；　（2）双曲线：焦点在x轴上：，焦点在y轴上：。方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。比如：双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：）；　（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：　（1）椭圆：由分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。　　如已知方程表示焦点

6、在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：）　（2）双曲线：由项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；　（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。　特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点、的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a最大，，在双曲线中，c最大，。4.圆锥曲线的几何性质：　（1）椭圆（以为例）：①范围

7、：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴x=0,y=0，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2a，短轴长为2b；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。    比如：若椭圆的离心率，则m的值是__（答：3或）；　（2）双曲线（以为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴x=0,y=0，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线；⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线，e越小，开口

8、越小，e越大，开口越大；⑥两条渐近线：。    比如：双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于______（答：或）；　（3）抛物线（以为例）：①范围：；②焦点：一个焦点，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴y=0，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线；⑤离心率：，抛物线。　如设，则抛物线的焦点坐标为________（答：）；5、点和椭圆的关系：（1）点在椭圆外；（2）点在椭圆上；（3）点在椭圆内6．直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：直线与椭圆相交；直线与双曲线相交，但直线与双曲线

9、相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。比如：若直线y=kx+2与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______（答：）；（2）相切：直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；（3）相离：直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离。特别提醒：　（1）直线与双

10、曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；　（2）过双曲线外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两