理学农林学类毕业论文 论加权回归与建模

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1、湖南师范大学本科毕业论文考籍号：XXXXXXXXX姓名：XXX专业：理学农林学类论文题目：论加权回归与建模指导老师：XXX二〇一一年十二月十日摘要：以加权回归估计方法为核心，对林业上常用模型的异方差性进行了研究，提出了能彻底消除异方差的最佳权函数。并对模型的评价指标进行了探讨，提出了评价通用性回归模型的3大指标，并分析了加权回归估计与这些评价指标之间的关系。最后对样本资料的收集进行了讨论，提出了收集建模样本应遵循的基本原则。关键词：加权回归建模异方差模型评价林业数表模型是森林经营决策必不可少的计量、预测、评价依据，保证模型质量至关重要，而样本组织、模型拟合方法和模型评价是保证质量的3

2、个重要环节。实践证明，林业数表模型所描述的问题普遍存在异方差性，在模型拟合中若不采取消除异方差影响的有效方法，必然导致模型有偏。为此，一般可采取加权最小二乘法拟合模型，但在权函数的选择上尚存在两个有待进一步解决的问题：一是权函数的形式因模型所描述的事物的性质不同而异，确定最佳权函数十分繁琐；二是到目前为止，尚未找出能完全消除异方差的权函数。本文旨在提出一种可以完全消除异方差影响的权函数通式，并给出正确评价模型的指标体系及组织建模样本的基本原则。　1　加权回归的概念　　确定变量之间的回归关系，一般情况下是利用普通最小二乘法。假设随机变量y～,其中，E(y)=f(x)。也就是说，随机变量

3、y与x满足下列模型：y=f(x)+ε　　　　(1)式中的ε有3个基本假定，即“独立、正态、等方差”，它们是采用普通最小二乘法建立回归模型的先决条件。3个条件中的“独立”与“正态”在一般情况下都是基本满足的，而“等方差”这一条件，则在很多情况下都难以满足。为解决误差项ε的异方差性问题，应设法校正原有的模型，使校正后的模型其误差项具有常数方差，而模型的校正取决于方差σ2εi与自变量xi之间的关系。假设εi的方差与xi的函数g(xi)呈比例关系，即：σ2εi=g(xi)σ2　　　　(2)这里σ2是一个有限常数。于是用去除原有模型，可使新模型的误差项具有常数方差。用这种方法估计模型中相应的参

4、数，叫做加权最小二乘法(俞大刚，1987)。2　权函数的选择2.1　异方差性的基本概念　　根据回归估计理论，当建立的回归模型的误差项存在异方差时，必须采用加权最小二乘法来消除异方差对参数估计的影响。在林业上所涉及的许多数学模型，如材积模型、生物量模型、生长率模型、削度模型等，其误差项的方差都不为常数，而是随解释变量的变化而变化(骆期邦等，1992；曾伟生等，1992；曾伟生，1996)。一般而言，模型预估值随解释变量的增大而增大时，其误差项的方差也随解释变量的增大而增大，如材积模型和生物量模型；模型预估值随解释变量的增大而减小时，其误差项方差也随解释变量的增大而减小，如生长率模型。在

5、残差图上反映出来，二者都为喇叭型。另外，预估变量的变化范围愈大，异方差性一般也愈明显。因此，采用适当形式缩小预估变量的变动幅度，可在一定程度上消除异方差性。如将材积转化为形数来建模，可将预估变量的取值大致控制在0.35～0.65的范围，使预估值的最大相差倍数从数千倍缩小至2倍以内，从而基本上消除了异方差性。将生长量转化为生长率再建模，也在很大程度上缩小了预估值的变动幅度，可明显削弱其异方差性。2.2　权函数选择的研究现状　　上面提到的一些常用模型，由于存在异方差，因此必须选用适当的权函数来进行加权回归估计。关于这一点，近几年已经逐步有了认识。如对材积模型V=aDbHc的估计，一般认为

6、选用权函数W=1/(D4H2)可有效地消除异方差的影响(骆期邦等，1992)；对生长率模型PV=aDbAc的估计，取权函数W=1/(D2A)效果较佳(曾伟生等，1992)。而且，还认识到了最合适的权函数是针对某一个模型而不是某一类模型(曾伟生，1992)。但是，针对一个具体的回归模型，如何确定其最合适权函数的问题仍然没有得到圆满解决。　一般情况下，如果不具有异方差性形式的信息，可通过对剩余值｜ei｜=g(xi)进行试验，以挑选出一种合适的拟合形式(俞大刚，1987)。另外，也有人提出直接寻找方差S2ei与自变量xi的关系式S2ei=g(xi)，再以W=1/g(xi)为权函数进行加权回

7、归，新模型的误差项方差S2ei就会近似为常数1。还进一步提出了较具通用性的抛物线形式的权函数，并取得了较好的效果(曾伟生，1996)。但是这样来确定权函数，一方面比较繁琐；另一方面也难保证抛物线形式能适合所有模型，尤其是含多个自变量的模型；再就是必须有比较大的建模样本才可能得到误差项方差与变量x之间的回归关系。诚然，在此基础上还可以作些改进，如：借鉴曾伟生文(曾伟生等，1997)中可变参数模型的设计，将狭义的抛物线形式