新课标高三数学第一轮复习单元讲座第31讲 不等式性质

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1、新课标高三数学第一轮复习单元讲座（31）—不等式性质一．课标要求：1．不等关系通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；2．基本不等式：（a,b≥0）①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。二．命题走向不等式历来是高考的重点内容。对于本将来讲，考察有关不等式性质的基础知识、基本方法，而且还考察逻辑推理能力、分析问题、解决问题的能力。本将内容在复习时，要在思想方法上下功夫。预测高考命题趋势：1．从题型上来看，选择题、填空题都有可能考察，把不等式的性质与函数、三角结合起来综合考察不等式的性质

2、、函数单调性等，多以选择题的形式出现，解答题以含参数的不等式的证明、求解为主；2．利用基本不等式解决像函数的单调性或解决有关最值问题是考察的重点和热点，应加强训练。三．要点精讲1．不等式的性质比较两实数大小的方法——求差比较法；；。定理1：若，则；若，则．即。定理2：若，且，则。定理3：若，则。定理3推论：若。定理4．如果且，那么；如果且，那么。推论1：如果且，那么。推论2：如果，那么。定理5：如果，那么。2．基本不等式定理1：如果，那么（当且仅当时取“”）。定理2：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）3．常用的证明不等式的方法（1）比较法第8页共8页比较法证明不等式

3、的一般步骤：作差—变形—判断—结论；为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。（2）综合法利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法；利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件。综合法证明不等式的逻辑关系是：，及从已知条件出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论。（3）分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明

4、不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。（1）“分析法”是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”；（2）综合过程有时正好是分析过程的逆推，所以常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程。四．典例解析例1：（1）设，已知命题；命题，则是成立的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：B。解析：是等号成立的条件。（2）若为△ABC的三条边，且，则（）A

5、．B．C．D．答案:D．解析：，又∵∴。（3）设x>0,y>0,,，a与b的大小关系（）第8页共8页A．a>bB．a0）则盐水就变咸了，试根据这一事实提炼一个不等式.答案：．解析:由盐的浓度变大得．（5）设．答案：。解析：。例2：已知a,b都是正数，并且a¹b，求证：a5+b5>a2b3+a3b2答案：证：(a5+b5)-(a2b3+a3b2)=(a5-a3b2)+(b5-a2b3)=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b)2(a2

6、+ab+b2)∵a,b都是正数，∴a+b,a2+ab+b2>0又∵a¹b，∴(a-b)2>0∴(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0即：a5+b5>a2b3+a3b2例3设，当时，求证：。解析：，∴。例4：（1）已知是正常数，，，求证：，指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数（）的最小值，指出取最小值时的值．答案：第8页共8页，故．当且仅当，即时上式取等号；⑵由⑴得．当且仅当，即时上式取最小值，即．【课内练习】1．设x、y是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy的最大值是_______________________.答案：2-4lg2。解析：∵x>0

7、,y>0,5=x+y≥2,∴xy≤()2.当且仅当x=y=时等号成立.故lgx+lgy=lgxy≤lg()2=2-4lg2.2．若a,b均为大于1的正数，且ab＝100，则lga·lgb的最大值是()A.0B.1C.2D.答案：B.解析：。翰林汇3．在三个结论：①，②③，其中正确的个数是　　　　　　　　　　（）A．0B．1C．2D．3答案：D。解析：可以证明3个不等式都成立。4．对一切正整数，不等式恒成立，则B的范围是（）答案：。解析：，即b>1或。5．已知方程的三根可作为一个三角形的三边长，那么m的取值范围是。第8页共8页答案：。解析：