养老保险费用问题

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1、养老保险费用问题——养老保险的模型设计二班都基仪（2101721）、邹晓云（2101709）摘要：本文通过对给定保险方案的分析，针对养老保险的实际情况，提出了对投保人有利的计算方法，以下对题目所给定的方案作出简要分析：方案I：40足岁开始投保，直到59岁止，60岁开始领取养老金，直到死亡，死时一次支付家属一定金额；方案II：40足岁开始投保，投10年，60岁开始领取养老金，直到死亡，死亡时一次支付家属一定金额。将两方案进行比较，只是投保方法不相同，领取养老金的方式是一样的。问题一：指出对投保人更有利的方案。针对该问题需寻找一个确定有利方案的指标，由此我们引入了投保有利率η(其定义为：领取的总

2、金额（包括利息）与投保总金额（包括利息）的差再与投保总金额（包括利息）的比值)；这样来把未来的资金转换为现值，来体现投保人与保险公司何者获利及何种方案对投保人更有利。在此需说明：a．η>0表示投保人获利；b．η=0表示投保人和保险公司等价交换；c．η<0表示保险公司获利。此外，的值越大说明对投保人越有利。问题二：建立一般数学模型。此问题相当灵活，在此，我们将问题涉及到的所有参量均作一般化处理，从而建立对保险问题通用的数学模型。具体实现如下：A.统一两方案并将问题作一般化重述：投保人从m岁时开始投保，每年交费c元，一直交到n岁为止，从p岁起，每年领取养老金d元，以后每年增加e元，直到死亡，死亡

3、后，保险公司一次性支付a元。若预期寿命为k岁，银行年利率为。同时，对其中的参量作定性的约束。B.据以上重述及对问题的分析建立一般模型。此模型对实际投保问题很有意义，既可作为保险公司方的参考工具，又可为投保人提供一定的信息。本文也对寿命的变化所引起的模型的变化做了灵敏度分析。一、基本假设根据题目的规定和实际情况，做出如下合理的假设，使问题简化易于解决。1.假设交纳保险费与领取养老金的时间分别为每年的年初与年末。2.假设预期寿命时间即为领取养老金的最后年份。3.银行的年利率不随时间的变化而变化。4.对投保人更有利理解为：在不同方案中，死亡时的领取养老金的总数（包括利息）与投保总金额（包括利息）的

4、差值与投保总金额的比率更大。一、符号说明γ：投保收入利息；ζ：投保收入(领取的总金额+利息)；ζ1：领取总金额；ω：投保费(投保总金额+利息)；ω1：投保总金额；a：投保人死后，保险公司一次支付其家属金额。二、问题分析本问题是一个在实际社会背景下有多因素共同作用的模糊描述问题，解决本问题需要经历以下几个过程：1.问题及其抽象根据我们所假设的条件可知：对投保人的有利程度取决于领取的养老金总金额（包括利息）与投保总金额的差值与投保总金额的比率。定义如下：投保有利率=即：η=…………………………(1)上式的投保率也就是我们所求问题的解，即：如果投保有利率越大，那么对投保人越有利。据假设及其定义，有

5、如下情况：1)η>0表示投保人获利；2)η=0表示投保人和保险公司等价交换；3)η<0表示保险公司获利。2.主要元素之间的关系投保人在投保的同时必须考虑到所投出的资金所产生的利息，此时所产生的利息（γ1）其实也是投保总金额（ω）的一部分。我们不妨设：投保收入（ζ）=所领取的金额+利息即：ζ=ζ1+γ…………………………(2)以上式（2）带入（1）式便可求解，越大说明在同环境下做投保越有利。三、模型建立此时对一般模型的理解为(将题目中的方案I、方案II统一化)：投保人从m岁时开始投保，每年交费c元，一直交到n岁为止，从p岁起，每年领取养老金d元，以后每年增加e元，直到死亡，死亡后，保险公司一次

6、性支付a元。若预期寿命为k岁，银行年利率为λ。针对此实际问题据以上分析可知：根据实际问题对以上变量作如下约束：k≥n≥m；p≤k；m、c、n、p、d、e、a、k、λ均非负。投保费为：ω=…………………(3)据(2)式可知：投保收入为：ζ=………………(4)其中：表示第j岁领取的金额；表示所对应的利息。将(3)式、(4)式代入(1)式可得：η===………………(5)对上式进行以下说明：就是我们所要求的投保有利率，据的定义可知：1.η>0表示投保人获利；2.η=0表示投保人和保险公司等价交换；3.η<0表示保险公司获利。对于实际问题，带入相应的值计算并加以比较即可知道投保人是否获利。图1：关于养

7、老金投保有利率所构建的模型一、根据实际情况求解方案I：40岁起每年交费437元，一直交到59岁为止；从60岁起每年领取养老金1200元直至死亡，年利率为5.8%，死亡后保险公司一次性支付给家属10000元；图2：根据方案1求出该险种投保有利率此处投保有利率η1=3.611546341方案II：40岁起每年交费750元，连续交纳10年；从60岁起领取养老金，第一年1000元，年利率为5.8%，直至死亡，死亡后保