05_第六七章习题选解

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1、第六章习题精解4．设为互异节点，证明：i)ii)证明：i)是＝在节点组上的n次插值多项式，当时，，i)得证。ii)设，x为参数，同i)，令t=x即得。注意若设由于，＝0不足以证ii）。7．设，证明：证明：由带余项的Lagrange插值公式：，由插值条件知，因此简单的求极值可知，从而得到10．在区间[a,b]上任取n＋1个互异的节点：做函数的次数不超过n的插值多项式。假定在上任意次可微且有问：当时，序列在[a,b]上是否收敛于。解：由带余项的Lagrange插值公式：，据题中条件可见在[a,b]上确实收敛于。注意是

2、一个非常强的条件，在复变函数中这一类函数基本上只能是。16．设互不相同，证明：并写出的n次Newton插值多项式。证明：用数学归纳法：当k=2时设当k=n－1成立，即当k=n时，设的n次Newton插值多项式为17．设为n＋1个互异的节点，为拉格朗日基本插值多项式，即令试证： 证明：设和分别表示f(x)的以为节点的插值多项式及其余项，则f(x)=+=f(0)=+=设f(x)＝，当时，＝0，，当时，＝18．若＝有n个互异的零点，则有证明：注意为函数＝在节点组上的n-1阶差商即得。27．设，S(x)是三次样条函数，证

3、明：i)ii)给定分划S(x)是在分划上的三次样条插值多项式，则：当S(x)是在划分上的第一类边界条件下的三次样条插值多项式时，从i),ii)两式可得到S(x)的一个什么性质？证明:i)两边直接展开即得。ii）分部积分最后的积分.如果ii）成立由i）可得，若把看成是f(x)在[a,b]上曲率的范数，则i),ii)两式可得到S(x)的“最光滑”性质。第七章习题精解1．（1）利用区间变换变换推出区间为[a,b]的伯恩斯坦多项式；（2）对＝在[0,]上求1次伯恩斯坦多项式。解：（1）设.令x=a+(b-a)t则，F(t

4、)的伯恩斯坦多项式为：以代入，得：这种将特殊区间变换到一般区间的方法具有普遍意义，在以后的正交多项式、数值积分等内容的学习中还常会用到(2)略2．（1）证明：当时，；（2）分别对＝x和求伯恩斯坦多项式和，从中可以看出伯恩斯坦多项式的什么性质？（1）证明：由于，而,,所以（2）当时，=x上述第二个例子表明伯恩斯坦多项式不具有投影性，即当时，不一定有，可见伯恩斯坦多项式的逼近效果不会太好。17．f(x)是[-a,a]上的连续奇（偶）函数，证明不管次数n是奇数或偶数，f(x)的最佳平方逼近多项式也是奇（偶）函数。证明：

5、设f(x)为奇函数，，f(x)在[-a,a]上的n次最佳平方逼近多项式为，列出法方程式：（1）当j=2l时，＝0，k为奇数，当j=2＋1l时，＝0，k为偶数，因此（1）式按j为偶或奇数可分成两组：（2）（3）其中（1）式是关于的一个齐次线性方程组，由法方程组解的存在唯一性，知（2）只有零解，从而为奇次多项式。同理可证f(x)为偶函数的结论。18．，定义问它们是否构成内积？解：线性空间中的二元运算称为内积，如果下列4个条件被满足：1），2），3），4），等号成立当且仅当，（的零向量）。本题中1）和2）中的运算显然都

6、满足1）－3），但在1）中如果f(x)=c（常数函数）则＝0，当c不为0时4）不满足，因此1）中的不是内积。在2）中，如果＝0，立即可得f(x)=c（常数函数）且f(a)=0，从而f(x)=0（零函数）所以2）中的是内积。19．设为n个正数，试求y使得：a）绝对误差的平方和最小。b）相对误差的平方和最小。解；注意在上述两式中，为yi已知的确定数据，而y为自由变量，两和式取极值的必要条件为他们对于y的导数为0.a）令，即得：b）令，即，得24．给定三点求证按最小二乘拟合这三点的直线过的重心。证明：设拟合三点的直线为

7、y=a+bx,据§7.1的结果，的重心坐标（X,Y）＝，直接验证可知Y=a+bX.