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1、〔七十年代的几份手稿〕《》曲边形求积摘自年牛顿向伦敦皇家协会会长提出的论著《运用无限多项方程。的分析》“二二“瓜所讨论的是形如的简单曲线其中例如对于抛物线扩““,。‘而扩二,,,,。,,。、为给定的量为整数”,如果砂那末沁面积刀乙这是不加证明地提出的。,作为例子他给出·,,二、护砂因此面积。合。、二,,夕,,”,如果万那末。”一二面积普,,,他在这样列举时无论对于一般的定理抑或对于例子的任何说明都没·有给以证明。如果我们看第一个例子二护那末面积元,沙‘众因此劣劣劣劣面积歹二二‘,。劣护第二个例子面积元面因此·劣告劣,劣旦面积一一般而论如果劣拼协那末二
2、,“少二面积元因此“‘““‘面积十仲弓比粤仍丹『‘劣’己韶‘肠祷一劣玲刃乞刃龟十牲—界一儿,二,牛顿从解析几何已经知道抛物线等等的面积元即等于所要求的曲边”,·二劣“二”‘,形面积的微分由于根据曲线方程所以这个微分韶呱即等于‘。,,的横坐标表示式乘以再者他从同一个来源知道面积可以看作这些,面积元的无限累加即看作‘“”‘。,二,,他还知道对于其中饥可以是任何一个只要哪和都是整数例臀劣附,““‘,,。二如则其结果为这就给出饥“‘“劣劣份。胜仍饥十,,一’二,此外例如对沪的微分运算曾告诉他其微分为黔也就是二项,,式定理的第二项而它将重又变为第一项也就是按下
3、面的公式积分得一淤饥劣“。丽几下云蔺牙,,二,如果他知道了这个公式那末他就会从解析几何知道它是的积分也就。‘是曲线方程中被微分过的的函数的积分但是他完全没有能够把微积分应,。用到解析几何上去他对一般定理的下述证明就说明了这一点在这个证明,,二十,‘中辅助口或者不如说辅助梯形不是由和所构成而是由,,二,和某一个高所构成这个高不是纵坐标因而当消失时它也不会消失二,他不是从方程而是在假定面积为已知的情况下用几何方法来作曲二,线利用对的已知函数的微分找出高度然后反过来推断如果现在,,这个高度如此这般那末当用这种表示式给定时面积就反过来必须是。,这样那样但是他
4、却回避去真正进行积分或者去指出如何用演算来实现这,个逆过程否则他也就会发现这个公式并非对于所有简单的曲线都已够,,,。用而还要这个常量在许多情况下并不是而是必须加以确定的我们将在。下一页如实地给出他的所谓证明二,,。,。必须注意在我们写作沪等等的地方他都写作护等等。证明的准备所要计算的面积二且刀月二。口尽。,面积月劣月介月记叽尸月劣从和之间任意假定的关系出发我按下列方式求势之,,一一名‘石。,二十二二。,礼设—劣二劣然后用代替代替日这样就得到‘十“”““参记劝因此二十二二‘‘‘“十“”‘”,‘’。,音,一,,”‘里—劣名消去这两项并把剩下的用去除就得
5、到‘‘‘··”·’‘。”号二如果我们现在假定月无限地减少并最后消失或者实际上变为,。,在这之前他早就称它为那末与相乘的那些项就此消失而我们得到,·,劣之·或一因而合号““”。号‘。。,二。劣但现在为什么又不是纵坐标又不是的函数当变为时,就变为因此’“,,·之“‘一一。普万劣,。。一,护鱼扩,口穷与,了则’一‘,言劣二’一,,蓦二一石—劣合劣拼劣,〔所以当我们不是从作图得出而是令微分矩形然后通过对之二,的微分从所假定的面积表示式找到了兽的时候我们就找到了。①现在牛顿补充说这一点应该证明他已经懂得积分“—“,,因此因何如果反过来叭就是说如果我们有了曲线方
6、程那一。一二““·末面积粤,,一,所以这个过程是这样如果给定了面积方程其中面积是用横坐标表示,,·‘”,二‘”的那末我利用微分就会找到曲线方程例如因而夕淤如果我把,,,二,,、,、,,,。、,‘,,、,、‘卜,。」,」二一一,,二,“,一换扩、‘成一或者曰其产、他’给定的”切数’并’把召目音换护、成’于娜’‘那”一‘末”今也就“是会曰找,、‘到用”谬。,劣横坐标来确定纵坐标然后我推论出反过来也必定可以从曲线方程,—也就是从被积函数求出这个面积而且这个面积必须就是我由之求出—劣价出。①这对括号是在马克思的手稿里原来就有的。,,的那个面积这样做时我还根本
7、没有进行过积分就象原先在导出面积的微分时根本没有直接对曲线方程实际上它是我反过来作为结。,—“”果求得的进行过微分此外要是牛顿认为这种他称为证明的准备的—,。做法本身就已经是证明的话那他就不会跟着再来一个证明了但是这个所拼十比件,二谓的证明仅仅在于用一般代数的形式来代替确定的数即用劣怜乙。二坦来代替而把同一件事重复一遍罢了冬就请看下面的证。明吧铃”一二。“这是代替数字证明如果现在一般地男以代替粤升乙十,的一般代数表示式或者它仅仅是—一种代数的简化用比较简单的表示式来置,,“,而以后可以再用它们的值代回去或者以及十,夕换如果通刀,,过这个置换它并不提供
8、新的证明论据而只是把假定用另一种较为简单的符”了‘。’‘‘’,二协二,十二号重复一遍或那末当完全象以前在准备
