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时间:2018-09-10
《《点集拓扑讲义》第一章 集合论初步 学习笔记》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、《点集拓扑学》第一章集合论初步 本章介绍有关集合论的一些基本知识.从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发,给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的知识.至于选择公理,只是稍稍提了一下,进一步的知识待到要用到时再阐述.旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中。 这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”,如果对集合的理论有进一步的需求,例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻辑,可以去研读有关公理集合论的专著.即令就朴素集合论本身而言,我们也无意使本章的内容构成一个完全自我封闭的体系,主要是我们没有打算重建数系,而假定读者了解有关正整数,整数,有理数,实数的
2、基本知识,以及其中的四则运算,大小的比较(<和≤),和实数理论中关于实数的完备性的论断(任何由实数构成的集合有上界必有上确界)等,它们对于读者决不会是陌生的.此外,对于通常的(算术)归纳原则也按读者早已熟悉的方式去使用,而不另作逻辑上的处理.§1.1 集合的基本概念 集合这一概念是容易被读者所理解的,它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体.例如我们常说“正在这里听课的全体学生的集合”,“所有整数的集合”等等.集合也常称为集,族,类.23 集合(即通常所谓的“集体”)是由它的元素(即通常所谓的“个体”构成的.例如正在这里听课的全体学生的集合以正在听课的每一
3、个学生为它的元素;所有整数的集合以每一个整数为它的元素.元素也常称为元,点,或成员.集合也可以没有元素.例如平方等于2的有理数的集合,既大于1又小于2的整数的集合都没有任何元素.这种没有元素的集合我们称之为空集,记作.此外,由一个元素构成的集合,我们常称为单点集.集合的表示法: (1)用文句来描述一个集合由哪些元素构成(像前面所作的那样),是定义集合的一个重要方式. (2)描述法:我们还通过以下的方式来定义集合:记号{x
4、关于x的一个命题P}表示使花括号中竖线后面的那个命题P成立的所有元素x构成的集合.例如,集合{x
5、x为实数,并且06、0,1).在运用集合这种定义方式时有时允许一些变通,例如集合{是实数}便是集合{,其中x是实数}的简略表示,不难明白这个集合实际上是由全体非负实数构成的.集合表示方式中的竖线“7、”也可用冒号“:”或分号“;”来代替.23 (3)列举法:也常将一个集合的所有元素列举出来再加上花括号以表示这个集合.例如{}表示由元素构成的集合.如果确实不至于发生混淆,在用列举的办法表示集合时容许某种省略.例如,有时我们可以用{1,2,3,…}表示全体正整数构成的集合,用{1,3,5,…}表示全体正奇数相成的集合.但我们并不鼓励这种做法,因为后面的规律不是很清楚,容易产生误解.我们再三8、提请读者注意:不管你用任何一种方式定义集合,最重要的是不允许产生歧义,也就是说你所定义的集合的元素应当是完全确定的. 在本书中,我们用: 表示全体正整数构成的集合,称为正整数集; Z表示全体整数构成的集合,称为整数集; Q表示全体有理数构成的集合,称为有理数集; R表示全体实数构成的集合,称为实数集; 并且假定读者熟知这些集合. 以下是一些常用的记号: ∈:表示元素与集合的关系,如:x∈X,x∈{x}等 :表示集合与集合的关系,如:AB(等价于) (这个记号即是通常数学课本中的) :表示与上述相反的含义. =:表示两个集合相等,如:A=B(等9、价于)23 以下的这个定理等价于形式逻辑中的相应命题,从直觉着去看也是自明的.定理1.1.1 设A,B,C都是集合,则 (l)A=A; (2)若A=B,则B=A; (3)若A=B,B=C,则A=C.定理1.1.2 设A,B,C都是集合,则 (l)AA; (2)若AB,BA,则A=B; (3)若AB,BC,则AC.证明(l)显然. (2)AB意即:若x∈A,则x∈B; BA意即:若x∈B,则x∈A.这两者合起来正好就是A=B的意思. (3)x∈A.由于AB,故x∈B;又由于BC,从而x∈C. 综上所述,如果x∈A就有x∈C.此意即AC. 因为空集不含任何元10、素,所以它包含于每一个集合之中.由此我们可以得出结论:空集是惟一的. 设A,B是两个集合.如果AB,我们则称A为B的子集;23 如果A是B的子集,但A又不等于B,即AB,A≠B,也就是说A的每一个元素都是B的元素,但B中至少有一个元素不是A的元素,这时,我们称A为B的真子集. 我们常常需要讨论以集合作为元素的集合,并且为了强调这一特点,这类集合常称为集族.例如,A={{1},{1,2},{1,2,3}}是一个集族.它的三个元素分别为:{1},{1,2},{1,2,3}及. 设X是一个集合,我们常用P(X)表示X的所有子集构成的集族,称为集合X的幂集.例如
6、0,1).在运用集合这种定义方式时有时允许一些变通,例如集合{是实数}便是集合{,其中x是实数}的简略表示,不难明白这个集合实际上是由全体非负实数构成的.集合表示方式中的竖线“
7、”也可用冒号“:”或分号“;”来代替.23 (3)列举法:也常将一个集合的所有元素列举出来再加上花括号以表示这个集合.例如{}表示由元素构成的集合.如果确实不至于发生混淆,在用列举的办法表示集合时容许某种省略.例如,有时我们可以用{1,2,3,…}表示全体正整数构成的集合,用{1,3,5,…}表示全体正奇数相成的集合.但我们并不鼓励这种做法,因为后面的规律不是很清楚,容易产生误解.我们再三
8、提请读者注意:不管你用任何一种方式定义集合,最重要的是不允许产生歧义,也就是说你所定义的集合的元素应当是完全确定的. 在本书中,我们用: 表示全体正整数构成的集合,称为正整数集; Z表示全体整数构成的集合,称为整数集; Q表示全体有理数构成的集合,称为有理数集; R表示全体实数构成的集合,称为实数集; 并且假定读者熟知这些集合. 以下是一些常用的记号: ∈:表示元素与集合的关系,如:x∈X,x∈{x}等 :表示集合与集合的关系,如:AB(等价于) (这个记号即是通常数学课本中的) :表示与上述相反的含义. =:表示两个集合相等,如:A=B(等
9、价于)23 以下的这个定理等价于形式逻辑中的相应命题,从直觉着去看也是自明的.定理1.1.1 设A,B,C都是集合,则 (l)A=A; (2)若A=B,则B=A; (3)若A=B,B=C,则A=C.定理1.1.2 设A,B,C都是集合,则 (l)AA; (2)若AB,BA,则A=B; (3)若AB,BC,则AC.证明(l)显然. (2)AB意即:若x∈A,则x∈B; BA意即:若x∈B,则x∈A.这两者合起来正好就是A=B的意思. (3)x∈A.由于AB,故x∈B;又由于BC,从而x∈C. 综上所述,如果x∈A就有x∈C.此意即AC. 因为空集不含任何元
10、素,所以它包含于每一个集合之中.由此我们可以得出结论:空集是惟一的. 设A,B是两个集合.如果AB,我们则称A为B的子集;23 如果A是B的子集,但A又不等于B,即AB,A≠B,也就是说A的每一个元素都是B的元素,但B中至少有一个元素不是A的元素,这时,我们称A为B的真子集. 我们常常需要讨论以集合作为元素的集合,并且为了强调这一特点,这类集合常称为集族.例如,A={{1},{1,2},{1,2,3}}是一个集族.它的三个元素分别为:{1},{1,2},{1,2,3}及. 设X是一个集合,我们常用P(X)表示X的所有子集构成的集族,称为集合X的幂集.例如
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