三角函数周期的求法

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1、雅QQ1240008362三角函数周期的求法高中数学涉及到函数周期的问题，学生往往感到比较困难。以下是有关三角函数周期的几种求法。1．定义法：定义：一般地ｙ＝c，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，ｆ（ｘ＋T）＝ｆ（ｘ）都成立，那么就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。例1．求函数y=3sin（）的周

2、期解：∵y=f（x）=3sin（）=3sin（+2）　　=3sin（）=3sin[]=f（x+3）这就是说，当自变量由ｘ增加到x+3，且必增加到x+3时，函数值重复出现。∴函数y=3sin（）的周期是T=3。例2：求f（x）=sin6x+cos6x的周期解∵f（x+）=sin6（x+）+cos6（x+）=cos6x+sin6x=f（x）∴f（x）=sin6x+cos6x的周期为T=5雅QQ1240008362例3：求f（x）=的周期解：∵f（x+）====f（x）∴求f（x）=的周期：T=2．公式法：（1）如果所求

3、周期函数可化为y=Asin（）、y=Acos（）、ｙ＝tg（）形成（其中A、、为常数，且A0、＞0、R），则可知道它们的周期分别是：、、。例4：求函数y=1-sinx+cosx的周期解：∵y=1-2（sinx-cosx）　　=1-2（cossinx-sincosx）　　=1-2sin（x-）这里=1　　∴周期T=2例5：求：y=2（sinx-cos3x）-1解：∵y=2（sinx-cos3x）-15雅QQ1240008362　　=2sin（3x-）-1这里=3　∴周期为T=例6：求y=tg（1+）的周期解：这里=，

4、∴周期为：T=/=（2）如果f（x）是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sinx、cosx、tgx的形式，再确定它的周期。例7：求f（x）=sinx·cosx的周期解：∵f（x）=sinx·cosx=sin2x这里=3，∴f（x）=sinx·cosx的周期为T=例8：求f（x）=sin2x的周期解：∵f（x）=sin2x=而cos2x的周期为，∴f（x）=sin2x的周期为T=　　注：以上二题可以运用定义求出周期。例9：求y=sin6x+cos6x的周期解：原函数次数较高，应先进降次变形，再求周期。∵y=si

5、n6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4x-sin2x·cos2x+cos4x）=(sin2x+cos2x)2-3sin2x·cos2x=1-3sin2x·cos2x　　=1-sin22x=+cos4x5雅QQ1240008362而cos4x的周期为T==,∴y=sin6x+cos6x的周期为T=例10：函数y=3sin2x-2sinx·cosx+5cos2x的周期。解：利用三角恒等式对函数进行恒等变形，再求周期。∵y=3sin2x-2sinx·cosx+5cos2x=3-2sinx·cosx+2c

6、os2x=3-sin2x+cos2x+1=4+2(cos2x-sin2x=4+2cos(2x+)∴y=3sin2x-2sinx·cosx+5cos2x的周期为T=3．定理法：如果f(x)是几个周期函数代数和形式的，即是：函数f(x)=f1(x)+f2(x)，而f1(x)的周期为T1,f2(x)的周期为T2，则f(x)的周期为T=P2T1=P1T2，其中P1、P2N，且（P1、P2）=1事实上，由（既约分数），得T=P2T1=P1T2∵f（x+P1T2）=f1（x+P1T2）+f2（x+P1T2）=f1（x+P2T1

7、）+f2（x+P1T2）=f1（x）+f2（x）=f（x）∴P1T2是f（x）的周期，同理P2T1也是函数f（x）的周期。5雅QQ1240008362例11：求函数y=tg6x+ctg8x的周期。解：∵y=tg6x的周期为T1=，tg8x的周期为T2=由P1T2=P2T1，得==，取P1=4，P2=3　　∴y=tg6x+ctg8x的周期为T=P1T2=。例12：求函数y=sin2x+sin3x的周期解：∵sin2x的周期为T1=，sin3x的周期为T2=而=，即是T=2T1=3T2，　　∴y=sin2x+sin3x

8、的周期为T=2T1=2例13：求函数y=cos+sin的周期解：∵cos的周期为T1=6，sin的周期为T2=8而，即是T=4T1=3T2　　∴y=cos+sin的周期为T=3T2=24。类似，y=sin-2sin的周期为T=30，y=tg3+2ctg2的周期为T=。由上述各例可知：尽管问题的形式多样复杂，但经过仔细观察、认真分析，都可以把它化成相关问题，运