2013年长沙市高考模拟试卷理数

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1、2013年长沙市高考模拟试卷数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案DCCCCACA二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。（一）、选做题（请考生在第9、10、11四题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9．010．11．（二）、必做题（13～17题）12.13．4514．15．(1)(2)16．(1)1,0,1(2)三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或

2、演算步骤.17.（本小题满分12分）解：(1)从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员广西籍的有：人，四川籍的有：人，……………（4分）设四川籍的驾驶人员应抽取名，依题意得，解得即四川籍的应抽取2名.……………（7分）(2)的所有可能取值为0，1，2；……………（8分），，，………（10分）的分布列为：012…………（11分）均值.（12分）18.（本小题满分12分）解法1：（1）作平面，垂足为，连接，则是直线与平面所成的角.由于平面平面，故是直线与平面所成的角.…2分作，垂足为，连接，∵平面，∴.∵平面，平面，∴平面.由题意知，在Rt△中，，在Rt△中，，在Rt△中，∴

3、直线与平面所成角的正弦值为.（6分）（2）延长PO交CD于点Q，连接MQ，由（1）知平面∵平面，∴.∵，∴.∴是二面角的平面角.……（7分）在△中，，∵，∴.………（8分）∴二面角的余弦值为.解法2：（1）以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系（如图），作平面，垂足为，作，垂足为，依题意知，,则，.∴.…（2分）∵平面，∴平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为，则.∴直线与平面所成角的正弦值为.（2）由(1)知,设平面的法向量为，由，，得令，则.∴平面的一个法向量为.设平面的法向量为，由，，得令，则.∴平面的一个法向量为.∵，∴平

4、面平面.∴二面角的余弦值为.（12分）19.（本小题满分12分）(1){Sn}是以3为首项，以1为公差的等差数列；所以Sn2=3+(n–1)=n+2因为an>0，所以Sn=(nÎN)，当n≥2时，an=Sn–Sn–1=–，又a1=S1=，所以an=(nÎN)，设{bn}的首项为b1，公比为q，则有，所以，所以bn=3n(nÎN)，(2)=()n，设可以挑出一个无穷等比数列{cn}，首项为c1=()p，公比为()k，(p、kÎN)，它的各项和等于=，则有，所以()p=[1–()k]，当p≥k时3p–3p–k=8，即3p–k(3k–1)=8，因为p、kÎN，所以只有p–

5、k=0，k=2时，即p=k=2时，数列{cn}的各项和为。当pp右边含有3的因数，而左边非3的倍数，不存在p、kÎN，所以唯一存在等比数列{cn}，首项为，公比为，使它的各项和等于20.（本小题满分13分）解：(1)∵E为AC中点，∴AE＝CE＝.∵＋3＜＋4，∴F不在BC上．则F在AB上，由AE＋AF＝3－AE＋4－AF＋3，∴AE＋AF＝5.∴AF＝＜4.在△ABC中，cosA＝.在△AEF中，EF2＝AE2＋AF2－2AE·AFcosA＝＋－2×××＝，∴EF＝.即小路一端E为AC的中点时小路的长度为(百米)（6分）(2

6、)若小道的端点E、F点都在两腰上，如图，设CE＝x，CF＝y，则x＋y＝5，＝＝－1＝－1＝－1≥－1＝(当x＝y＝时取等号)；若小道的端点E、F分别在一腰(不妨设腰AC)上和底上，设AE＝x，AF＝y，则x＋y＝5，＝＝－1＝－1≥－1＝(当x＝y＝时取等号)．所以，最小值是.（13分）21.（本小题满分13分）解：(1）证法1：设点、（，，），直线的斜率为（），则直线的方程为，联立方程组整理，得，解得或．所以．同理可得，．所以．证法2：设点、（，，），则，．因为，所以，即．因为点和点分别在双曲线和椭圆上，所以，．即，．所以，即．所以．证法3：设点，直线的方程为，

7、联立方程组整理，得，解得或．将代入，得，即．所以．(5分)（2）解：设点、（，，），则，．因为，所以，即．因为点在双曲线上，则，所以，即．因为点是双曲线在第一象限内的一点，所以．因为，，所以．由（2）知，，即．设，则，．设，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减．因为，，所以当，即时，．当，即时，．所以的取值范围为．……(13分)说明：由，得，（给1分）．22.（本小题满分13分）⑴依题意，恒成立，所以……（1分），因为、是常数，所以当充分大时，，从而……（2分）。（用反证法亦可）因为即恒成立，所以……（3分），所以……（4分）。因为即恒成立，设