对偶原则与配极对应教学探讨

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1、维普资讯http://www.cqvip.com一V青海师专学报c自然科学】JOURNALOFQINGHAIJUNIORTEACHERS’COLLEGEfNaturalScienceEdition)1998年第4期N1998对偶原则与配极对应教学探讨怕卡青海师范高等专科学校数学系再宁810007口fJ【摘要】高等几何的教学．自始至终贯穿着对偶原则，配极变换使点列与线束成射影对应是教学难点本文根据作者多年教学实践．探索丁这一问题的教材教法颧里旦射f对偶原则是高等几何里的一个重要原理和方法利用对儡的方

2、法研究射影几何问题贯穿在教材的始终。点与直线是射影平面上的基本元素，也是对偶元素。点在直线上或直线通过点，称为点与直线接合，一一个平面几何问题，如果只涉及到接台关系便称为是射影的。射影平面上只用点线接合表达的全部命题构成平面射影几何学。由于射影平面与欧化平面的结构不同，因此它具有一些特殊的属性，对偶原则就是其中一个重要的特性。在时影平面上，我们研究图形的性质，如果这些性质只和点与直线的结台性有关。例如说“二点在一线上和“二线交于一点”这表示两种不同的位置关系。但是．只要把其中的“点”、“线”分别换

3、成“线”、“点”，就可以由前一关系得出后一关系。这说明两种位置关系的命题“相互对偶”。其中元素“点”、“线”称为对偶元素，“在⋯⋯上”与“经过⋯⋯”称为对偶运算。高等几何教材中，经常接触到的对偶关系有图形对偶、命题对偶，以及代数对偶。庞加莱(Pon．celet)在建立射影几何理论时，首先发现许多定理只要把其中的名词“点”与“线”，“在⋯⋯上与“经过⋯⋯”互换，就可从一个定理得到另一个新定理。若前者正确．则后者同样正确，这就得出几何教材中的对偶原则。即如果一个命题成立，那么它的对偶命题成立。点与直线

4、在平面内的位置关系，总可以用一个或一组方程来表示。因方程所含变量的解释不同，于是一个或一组方程表示不同的几何意义。两种不同的几何意义构成两种不同的几何命题，其中一个属于点几何范围，另一个则属于线几何范围。因为它们足从同一个或同一组方程导出的，所以只要交换少许字句，就能由一命题转化为另一命题。牧稿日期1997一l2—2944维普资讯http://www.cqvip.com李思风：对偶原则与配极对应教学探讨重要的一点是对偶原则仅仅在射影平面，即补充r“无穷远元素”的平面上成立。这是因为对偶原则使我们可

5、以互换几何命题中的点和直线，这意味着点和直线在射影平面L是对等的关系。正如上面所言点有坐标，则线也有坐标；线有方程，则点也有方程。而在引进无穷远元素之前，点和直线决不是对等的。例如，平行直线没有公共点存在。无穷远元素的引人，消除了平行直线的特殊地位。在射影平面上，任何两条直线都交于一点(普通点或无穷远点)。任意两点也总能确定一条直线。．总之，可以这样说，根据射影平面上点和直线的基本性质的对称性，能够推出对偶原则。还要注意：对偶原则只适用于与几何关素的结合性和顺序性有关的命题，对度量关系不能应用对偶

6、原则。蒋国几何学家庞加莱根据射影平面的配极性质，导出了对偶原则，每个配极都在射影平面上互换点和直线，于是把给定的射影定理相关联的图形变成它的对偶定理的图形。为了说明这个问题，我们首先看般点，极线的概念：定义给定一二阶曲线S，若定点P不在S上，过P作直线与S相交于M、M，若Q是上点，使(M，M：，PQ)=一1，那么定点P关于曲线S调和共轭点的轨迹是一条直线，P称为点P关于曲线S的极线，而P称为P的极点。下面研究极线的性质：定理1若点P在曲线S上，则该点的极线就是它的切线。证明设P在S上，则有∑pIq

7、，=0，以Q表示P关于S的许多共轭点的一个，则由共轭条件有：∑Pq．=0，连PQ，交S于两点M．M：，并可表示为：MI：P-+1q．M2：P+X2q．在，，是方程∑q．=0根的前提下，有∑Plq．：0，I．==0，即M=M，这说明任一点Q与P共轭时，它与P的连线交S的两个点重合，且此点即P本身。可见，P的一切共轭点在以P为切点的切线上，从而极线就是切线本定理表明：二次曲线切点切线关系恰好是极点扳线的特例。关于极线最重要的结论是：定理2(配极原则)若P点的极线通过Q，则Q点的极线也通过P。证明·．·

8、P点的扳线通过Q，则Q是P点的一个调和共轭点，因此点P也是点Q的一个共轭点，也就是说P在Q的极线上，即Q点的极线通过P。这个定理的几个推论：推论1若点Q在点P的极线上移动，则点Q的极线是以P为中心旋转成的一个线束。这推论说明，在极点和极线的对应中，点与直线对应，点列与线柬对应。推论2两点连线的极点是这两点极线的交点；两直线交点的极线是这两直线极点的连线。推论3若P的极线与二次曲线交于二实点A、B，那么PA，PB必是二次曲线的切线。利用一个点关于曲线的极线概念，我们给出平面配极变换的