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1、矩阵初等变换的若干应用Someapplicationsofelementarytransformationofmatrix专业:数学与应用数学作 者:指导老师:学校二○一摘要本文介绍了矩阵初等变换在高等代数中的一些应用,总结了其在求矩阵和向量组的秩、求逆矩阵、化二次型为标准形、求解矩阵方程以及求一元多项式最大公因式中的应用.关键字:初等变换;秩;逆矩阵;标准形;矩阵方程;最大公因式IIAbstractInthispaper,weintroducesomeapplicationsofelementarytransfor
2、mationofmatrixinalgebra,andsummarizestheapplicationsofelementarytransformationofmatrixintherankofamatrixandvector,theinversematrix,changingquadraticformasthestandardform,solvingthematrixequationandthemonadicpolynomialgreatestcommonfactor.Keywords:elementarytrans
3、formation;rank;inversematrix;standardform;matrixequation;greatestcommonfactorII目录摘要IABSTRACTII0引言11矩阵的初等变换与初等矩阵的基本概念12用初等变换求矩阵和向量组的秩23用初等变换法求逆矩阵34用初等变换化二次型为标准形45用初等变换求解矩阵方程55.1当,可逆时线性矩阵方程的解55.2当,不可逆时线性矩阵方程的解66用初等变换讨论一元多项式最大公因式的求法8参考文献110引言矩阵理论是代数的主要内容之一,在数学及其它科学
4、领域中有着广泛的应用.在矩阵的应用中,矩阵的初等变换起着关键作用.关于矩阵初等变换的应用,前人已经得出了很多有价值的结论,本文在前人理论的基础上对矩阵的初等变换在代数中的若干应用进行了一些讨论.归纳了初等变换在求矩阵和向量组的秩,矩阵的逆,化二次型为标准形,线性矩阵方程的解以及求一元多项式的最大公因式等方面的应用.1矩阵的初等变换与初等矩阵的基本概念我们先来看看有关矩阵初等变换和初等矩阵的相关知识:(1)对矩阵施以以下三种变换,称为矩阵的初等变换:(i)交换矩阵的两行(列);(ii)以一个非零数乘矩阵的某行(列);(i
5、ii)矩阵的某行(列)加上另一行(列)的倍.(2)矩阵的初等变换用如下形式表示:(i)交换矩阵的第行(列)与第行(列):或;(ii)非零常数乘矩阵的第行(列):或;(iii)矩阵的第行(列)加上第行(列)的倍:或.(3)初等矩阵由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵,共3类:(i)——交换的第行与第行(或第列与第列)得到的初等矩阵;(ii)（或）——用数域中的非零数乘的第行(或第列)得到的初等矩阵;(iii)——把的第行的倍加到第行(或第列的倍加到列)得到的初等矩阵.第105页,共11页2用初等变换求矩阵和向
6、量组的秩由于初等变换不改变矩阵的秩,且任意一个矩阵均可以经过一系列行初等变换化为梯形矩阵;因此,我们要确定一个矩阵的秩,首先要用行初等变换将其化为梯形矩阵,然后再由梯形矩阵的秩确定原矩阵的秩.例1设,求矩阵的秩.解因此矩阵的秩为3.如果我们要求向量组的秩,可以把每一向量作为矩阵的一行,从而向量组就转化为了一个矩阵,使求向量组的秩转化成求矩阵的秩,自然使问题简单化了.例2求向量组,,,,的秩.解以为列,构造矩阵,再对进行行初等变换,化为梯形矩阵:第105页,共11页因此,矩阵的秩是4,从而向量组的秩也是4.3用初等变换法
7、求逆矩阵如果是阶可逆矩阵,我们将与并排放到一起,形成一个的矩阵,因为,所以对矩阵作一系列行初等变换,将其左半部分化为单位矩阵,这时右半部分就是.例3设，求.解.第105页,共11页因此,.同理,如果是阶可逆矩阵,我们将与并列放到一起,形成一个的矩阵,因为,所以对矩阵作一系列列初等变换,将其上半部分化为单位矩阵,这时下半部分就是.用初等变换法求逆矩阵是一种通用而较简便的方法.正确地选择和使用它们能更快更好地解决各类求逆矩阵问题.4用初等变换化二次型为标准形对任意二次型一定存在可逆非退化线性替换将其化为标准形,即为对称矩阵
8、找一个可逆矩阵,使得为对角矩阵,而可逆矩阵可以写成若干个初等矩阵的乘积,所以存在初等矩阵有，从而有是一个对角矩阵.由上式可得到用初等变换法化二次型为标准形的步骤如下:首先,写出二次型的矩阵,构造矩阵,然后对矩阵每进行一次行初等变换后,就对进行一次同样的列初等变换,当矩阵化为对角矩阵时,单位矩阵将化为可逆矩阵,此时,最后得到可逆矩阵
