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时间:2018-09-07
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1、第二章 函数与导数第14课时 函数的综合应用1.设函数f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数,若f(1)>1,f(2)=,则a的取值范围是________.答案:-12、x3、,m>1,对任意的x∈4、[1,m],都有f(x-2)≤ex,则最大的正整数m为________.答案:4解析:作出函数y1=e5、x-26、和y2=ex的图象,如图可知x=1时y1=y2,又x=4时y1=e2<y2=4e,x=5时y1=e3>y2=5e,故m<5,即m的最大整数值为4.4.给出下列四个结论:①函数y=k·3x(k>0)的图象可由函数y=3x的图象经过平移得到;②不等式>a的解集为M,且2M,则a的取值范围是;③定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)·f(x)=-1,则f(x)是周期函数;④已知f(x)满足对x∈R都有f+f=2成立,则f+f+…+f=7.其中正确的7、是________.(填序号)答案:①③④解析:由k·3x=3x+log3k(k>0)知①正确;由2M得≤a,即a≥,故②不正确;由f(x+1)=-得f(x+2)=f(x),故③正确;由f+f=2得f(x)+f(1-x)=2且f=1,故f+f+…+f=7正确.5.函数f(x)的定义域为D,若满足①f(x)在D内是单调函数,②存在[a,b]D,使f(x)在[a,b]上的值域为[-b,-a],那么y=f(x)叫做对称函数,现有f(x)=-k是对称函数,则k的取值范围是_________.答案:解析:由于f(x)=-k在(-∞,2]上是减函数,所以关于x的8、方程-k=-x在(-∞,2]上有两个不同实根,且k-x≥0在(-∞,2]上恒成立,通过换元结合图象可得k∈.6.已知函数f(x)的定义域为R,f(2)=3,且f(x)在R上的导函数满足f′(x)-1<0,则不等式f(x2)2,故不等式的解集为(-∞,-)∪(,+∞).7.已知函数f(9、x)=loga10、x+111、(a>0且a≠1),当x∈(0,1)时,恒有f(x)<0成立,则函数g(x)=loga的单调递减区间是________.答案:解析:当x∈(0,1)时,12、x+113、>1,但loga14、x+115、<0,故由对数函数的图象知,00,解得016、_.答案:解析:由y=-,得y+=≥0,两边平方得(x-1)2+(y+)2=4(y≥-),又x∈[0,2],所以所给的函数的图象是圆的一段弧,画图易知,若圆弧与y轴相切,能使旋转后所得曲线仍是一个函数的图象,若与y轴相交,则不能构成函数,故最多可以逆时针旋转,即θ的最大值为.9.已知函数f(x)=-x2+17、x-a18、,其中a∈R.(1)讨论f(x)的奇偶性;(2)当a=-1时,求f(x)的值域;(3)当a≤0时,求f(x)的最大值.解:(1)若a=0,则f(-x)=-x2+19、x20、=f(x),即f(x)是偶函数;若a≠0,f(-1)=-1+21、-1-a22、,f(123、)=-1+24、1-a25、,因为f(-1)≠f(1),f(-1)≠-f(1),所以f(x)是非奇非偶函数.(2)当a=-1时,f(x)=-x2+26、x+127、=当x<-1时,f(x)∈(-∞,-1);当x≥-1时,f(x)∈,所以f(x)的值域为.(3)若x≥a,则f(x)=-x2+x-a=-+-a,在x=处f(x)取最大值f=-a.若x≤a,则f(x)=-x2-x+a=-++a,①当a≤-时,[f(x)]max=f(a)=-a2;②当-≤a≤0时,[f(x)]max=f=+a,由于+a≤-a,-a2≤-a,所以[f(x)]max=-a.10.已知f(x)为R上的偶28、函数,当x≥0时,f(x)=ln(x+2).(1)当x<0时,求f
2、x
3、,m>1,对任意的x∈
4、[1,m],都有f(x-2)≤ex,则最大的正整数m为________.答案:4解析:作出函数y1=e
5、x-2
6、和y2=ex的图象,如图可知x=1时y1=y2,又x=4时y1=e2<y2=4e,x=5时y1=e3>y2=5e,故m<5,即m的最大整数值为4.4.给出下列四个结论:①函数y=k·3x(k>0)的图象可由函数y=3x的图象经过平移得到;②不等式>a的解集为M,且2M,则a的取值范围是;③定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)·f(x)=-1,则f(x)是周期函数;④已知f(x)满足对x∈R都有f+f=2成立,则f+f+…+f=7.其中正确的
7、是________.(填序号)答案:①③④解析:由k·3x=3x+log3k(k>0)知①正确;由2M得≤a,即a≥,故②不正确;由f(x+1)=-得f(x+2)=f(x),故③正确;由f+f=2得f(x)+f(1-x)=2且f=1,故f+f+…+f=7正确.5.函数f(x)的定义域为D,若满足①f(x)在D内是单调函数,②存在[a,b]D,使f(x)在[a,b]上的值域为[-b,-a],那么y=f(x)叫做对称函数,现有f(x)=-k是对称函数,则k的取值范围是_________.答案:解析:由于f(x)=-k在(-∞,2]上是减函数,所以关于x的
8、方程-k=-x在(-∞,2]上有两个不同实根,且k-x≥0在(-∞,2]上恒成立,通过换元结合图象可得k∈.6.已知函数f(x)的定义域为R,f(2)=3,且f(x)在R上的导函数满足f′(x)-1<0,则不等式f(x2)2,故不等式的解集为(-∞,-)∪(,+∞).7.已知函数f(
9、x)=loga
10、x+1
11、(a>0且a≠1),当x∈(0,1)时,恒有f(x)<0成立,则函数g(x)=loga的单调递减区间是________.答案:解析:当x∈(0,1)时,
12、x+1
13、>1,但loga
14、x+1
15、<0,故由对数函数的图象知,00,解得016、_.答案:解析:由y=-,得y+=≥0,两边平方得(x-1)2+(y+)2=4(y≥-),又x∈[0,2],所以所给的函数的图象是圆的一段弧,画图易知,若圆弧与y轴相切,能使旋转后所得曲线仍是一个函数的图象,若与y轴相交,则不能构成函数,故最多可以逆时针旋转,即θ的最大值为.9.已知函数f(x)=-x2+17、x-a18、,其中a∈R.(1)讨论f(x)的奇偶性;(2)当a=-1时,求f(x)的值域;(3)当a≤0时,求f(x)的最大值.解:(1)若a=0,则f(-x)=-x2+19、x20、=f(x),即f(x)是偶函数;若a≠0,f(-1)=-1+21、-1-a22、,f(123、)=-1+24、1-a25、,因为f(-1)≠f(1),f(-1)≠-f(1),所以f(x)是非奇非偶函数.(2)当a=-1时,f(x)=-x2+26、x+127、=当x<-1时,f(x)∈(-∞,-1);当x≥-1时,f(x)∈,所以f(x)的值域为.(3)若x≥a,则f(x)=-x2+x-a=-+-a,在x=处f(x)取最大值f=-a.若x≤a,则f(x)=-x2-x+a=-++a,①当a≤-时,[f(x)]max=f(a)=-a2;②当-≤a≤0时,[f(x)]max=f=+a,由于+a≤-a,-a2≤-a,所以[f(x)]max=-a.10.已知f(x)为R上的偶28、函数,当x≥0时,f(x)=ln(x+2).(1)当x<0时,求f
16、_.答案:解析:由y=-,得y+=≥0,两边平方得(x-1)2+(y+)2=4(y≥-),又x∈[0,2],所以所给的函数的图象是圆的一段弧,画图易知,若圆弧与y轴相切,能使旋转后所得曲线仍是一个函数的图象,若与y轴相交,则不能构成函数,故最多可以逆时针旋转,即θ的最大值为.9.已知函数f(x)=-x2+
17、x-a
18、,其中a∈R.(1)讨论f(x)的奇偶性;(2)当a=-1时,求f(x)的值域;(3)当a≤0时,求f(x)的最大值.解:(1)若a=0,则f(-x)=-x2+
19、x
20、=f(x),即f(x)是偶函数;若a≠0,f(-1)=-1+
21、-1-a
22、,f(1
23、)=-1+
24、1-a
25、,因为f(-1)≠f(1),f(-1)≠-f(1),所以f(x)是非奇非偶函数.(2)当a=-1时,f(x)=-x2+
26、x+1
27、=当x<-1时,f(x)∈(-∞,-1);当x≥-1时,f(x)∈,所以f(x)的值域为.(3)若x≥a,则f(x)=-x2+x-a=-+-a,在x=处f(x)取最大值f=-a.若x≤a,则f(x)=-x2-x+a=-++a,①当a≤-时,[f(x)]max=f(a)=-a2;②当-≤a≤0时,[f(x)]max=f=+a,由于+a≤-a,-a2≤-a,所以[f(x)]max=-a.10.已知f(x)为R上的偶
28、函数,当x≥0时,f(x)=ln(x+2).(1)当x<0时,求f
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