运用中国哲学观点对几个中学数学问题的思考

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1、运用中国哲学观点对几个中学数学问题的思考　　数学与哲学一直伴随着人类文明的发展，两者一直密不可分，相依相存。在西方，古希腊罗马的神数观念、柏拉图的理念世界和毕达哥拉斯学派万物皆数的观念，都曾经企图用数学来阐释世界的本原。在数学发展的各个时期，有不少数学家同时又是哲学家，其中著名的有毕达哥拉斯、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹、高斯、皮尔逊、希尔伯特、罗素、哥德尔等，在我国当代，也有徐利治、王梓坤等。这是因为客观世界的任何对象或事物都有质与量的对立统一，哲学是探索整个客观世界最普遍的规律性，而数学仅从量的侧面去探索客观世界的规律性，对数学本体论，认识论、方法论的研究导致数学哲学的诞

2、生。本文力求想用中国哲学的观点来解释几个中学数学问题，以引发我们用中国哲学的观点来审视、思考数学。　　一、第二次数学危机的中国哲学思考　　18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础——无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出：“牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量△x，应用二项式n，从中减去xn以求得增量，并除以△x以求出xn的增量与x的增量之比，然后联盟又让△x变为0消逝，这样得出增量的最终比。这

3、里牛顿做法违反了矛盾律——先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。”他认为，无穷小量既等于零又不等于零，召之即来、挥之即去这是荒谬，无穷小量为逝去量的灵魂。从中我们可以发现，悖论的焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？这个悖论引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，导致了数学史上的第二次数学危机。　　18世纪的数学思想的确是不严密的，直观地强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是没有清楚的无穷小概念，导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严

4、格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等。直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论，认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋近于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值。”无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，第二次数学危机基本解决。　　无穷小量是一个要怎样小就怎样小的量，那可不可以找到一个比它更小的量，它到底是一个多小的量

5、呢？无穷小量无限逼近于0，却又不是0，这又如何去理解呢？对无穷小量的理解让人们限入了矛盾之中。中学数学的函数图形也出现这样的现象，如反比例函数y=■，函数图象在第一象限随x的增大而无限趋近于x轴，但不会与x轴相交。这种无限逼近的状态是一种什么状态呢？既然随x的增大图象与x轴距离越来越小，那就总有距离为0的一天，为什么永远不会相交呢？人们似乎一直想找到无穷小和无穷大到底在什么地方，就象人类一直想寻求宇宙的尽头在哪里，最小的事物是什么。　　《庄子·天下》记载了惠施的思想：“至大无外，谓之大一，至小无内，谓之小一”。在《庄子·秋水》中记载这样一个故事：秋天来到，黄河河水上涨，

6、河伯为自己的伟大十分得意。及至随河水入海，才在汪洋大海中发现自己微不足道。河伯对海神北海若说：“本来以为自己多么浩瀚，现在和大海相比，才认识到自己多么渺小。”北海若回答说：“若和天地相比，北海也无非是大谷仓里一颗细小的米粒。因此，只能称自己为‘小’，而不能称自己为‘大’”。河伯又问北海若：“如此说来，天地是否可以称作‘至大’，而一根头发的毫末则是‘至小’”？北海若回答说：“人所知道的要比他所不知道的少得多，人的生命比他没有存在的时间要短得多，人如何敢说，头发的毫末就是‘至小’天地就是‘至大’”呢？然后，北海若说：“大和小，都因有形，而后才有大小，其实，至小就无形可言，至

7、大就不可能有任何范围。”　　古人常说的天地是最大的事物，秋毫之末是最小的事物，其实这都是就现实经验而言。《庄子·秋水》篇里所说“因其所大而大之，则万物莫不大；因其所小而小之，则万物莫不小”。所以，在现实经验中，大的东西和小的东西都只是相对而言。　　“至大”、“至小”并不特指任何现实事物，只是两个抽象概念。我们可以这样理解，数学中的无穷小量就是庄子所提到“至小”，无穷小量就无形可言。同样，数学中的无穷大也是不可能有任何范围的。　　既然无穷小量无形可言，那么如何去理解它的无形呢？无形似乎就是不存在，如果它不存在，我们又如何去表达它呢？中国的哲