《万有引力与航天》——亮点题粹

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1、《万有引力与航天》——亮点题粹升华级图7—11ROdRO12题1  如图7—11所示，半径为R=0.2m的两个均匀金属球，质量均为M=160kg，两球心相距d=2m，内部挖出一个半径为R/2的球形空穴，空穴跟金属球相切。求挖出空穴后两球间万有引力的大小。亮点 应用力的叠加原理求解空穴球体间的万有引力。解析 将两球中挖出的部分分别放回两球中，设该填充球的质量均为M’，则有，。两完整球之间的万有引力为，两填充球之间的万有引力为，填充球与另一完整球之间的万有引力为  。以F2、F3分别表示两空腔球之间和填空球与空腔球之间的万有引力，则有 ，从而    ≈3.2×10-7N。联想求解此类空穴球体

2、间的万有引力，常常会犯以下两种错误：其一，误将两空穴球体重心间的距离当作万有引力公式中的r进行计算；其二，误认为，而忽略了填空球与空腔球之间的万有引力。值得注意的是，万有引力公式仅适用于计算质点之间或质量均匀分布的球体之间的万有引力，对于质量均匀分布的球体，公式中的r即两球心间的距离。对于一般的物体，它们之间的万有引力等于两物体各部分间万有引力的矢量和。图7－12题2现代观测表明，由于引力作用，恒星有“聚集”的特点。众多的恒星组成不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星，如图7－12所示，两星各以一定速率绕其连线上某一点匀速转动，这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起。已

3、知双星质量分别为m1、m2，它们间的距离始终为L，引力常量为G，求：(1) 双星旋转的中心O到m1的距离；(2) 双星的转动周期。亮点应用万有引力定律和牛顿第二定律对双星旋转中心和转动周期的讨论。解析设双星旋转的中心O到m1的距离为x，由F引=F向知   G，G。联立以上两式求解得：双星旋转的中心到m1的距离为x=。双星的转动周期为 T=2πL。联想经过天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统。双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两个星体之间的距离。一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理。向心力大小相等，角速度相同，这是双星运动的特点。双星在宇宙中

4、是比较常见的，如地球和月球在一定程度上就属于此种类型。但由于地球的质量比月球大得多，据有关数据计算，它们所围绕的共同“中心”到地心的距离约为4.68×103km，小于地球半径。可见，它们的共同“中心”在地球的内部，因此看上去是月球绕地球运转。题31976年10月，剑桥大学研究生贝尔偶然发现一个奇怪的射电源，它每隔1.337s发出一个脉冲信号。贝尔和她的导师曾认为他们和外星文明接上了头。后来大家认识到事情没有这么浪漫，这类天体被定名为“脉冲星”。“脉冲星”的特点是脉冲周期短，且周期高度稳定。这意味着脉冲星一定进行着准确的周期运动，自转就是一种很准确的周期运动。(1) 已知蟹状星云的中心星P

5、S0531是一颗脉冲星，其周期为0.331s。PS0531的脉冲现象来自自转。设阻止该星离心瓦解的力是万有引力，估计PS0531的最小密度。(2) 如果PS0531的质量等于太阳质量，该星的可能半径最大是多少？（太阳质量是M=1030kg）亮点应用万有引力定律、牛顿第二定律和密度公式对脉冲星最小密度和最大半径的讨论。解析(1)  脉冲星的脉冲周期即为自转周期，脉冲星高速自转但不瓦解的临界条件是：该星球表面的某块物质m所受星体的万有引力恰等于向心力。由 ，又 ，故脉冲星的最小密度为 。(2)  由，得脉冲星的最大半径为。联想本题讨论的是有关脉冲星密度和半径的临界问题。分析临界问题要抓住临界

6、状态，对脉冲星而言，其临界状态是即将瓦解的状态，此时星球表面的某块物质所受星体的万有引力恰等于向心力，明白了这一点，问题就迎刃而解了。你能求出脉冲星PS0531表面附近可能最大的环绕速度吗？(答案：)题4已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度），其中分别是引力常量、地球的质量和半径。已知，求下列问题：(1)  逃逸速度大于真空中光速的天体叫做黑洞。设某黑洞的质量等于太阳的质量M=1.98×1030kg，求它的可能最大半径（这个半径叫Schwarzchild半径）。(2)  在目前天文观察范围内，物质的平均密度为10-27kg/m3，如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的

7、逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物质都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？亮点应用“逃逸速度大于光在真空中的速度”对黑洞和宇宙半径的估算。解析(1)  由题目提供的信息可知，任何天体均存在其所对应的逃逸速度 ，其中M、R为天体的质量和半径。对于黑洞模型来说，其逃逸速度大于真空中的光速，即v2＞c，所以 R＜。即质量为1.98×1030kg的黑洞的最大半径约为2.94×103m。(2)  把宇宙视为一普通天体，则其质量为，其中