概率论习题课1答案

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1、1、设A、B是试验E的两事件，问A与B相互独立，互不相容和互为对立事件三者能否同时成立？三者关系如何？2、某人有两盒火柴，吸烟时从任一盒中取一根火柴，经过若干时间后，发现火柴已用完。如果最初两盒中各有n根火柴，求这时另一盒中还有r根火柴的概率。3、假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂，现该厂新生产了n(n2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求（1）全部能出厂的概率；（2）其中恰好有两件不能出厂的概率；（3）其中至少有两件不能出厂的概率。4、设有来自三个地区的各10名，1

2、5名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份，7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份。（1）求先抽到的一份是女生表的概率（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率。5、设随机试验E中某一事件A发生的概率为1>P>0，试求证：独立地连续重复做试验E时，不论P如何小，A迟早会发生的概率为1。6、有两个盒子，第一个盒中装有2个红球，1个黑球，第二个盒中装有2个红球，2个黑球。现从这两个盒中各任取一球放在一起，再从中任取一球，问：（1）这个球是红球的概率；（2）若发现这球是红球，问第一个盒中取出的球是红球的概率。7、甲盒中装有4个红球、2个白球，乙

3、盒中装有2个红球、4个白球，掷一次均匀的硬币，若出现正面，则从甲盒中任取一球；若出现背面，则从乙盒中任取一球，设每次取出的球都放回原盒，试求：（1）如果前二次都取得红球，求第三次也取得红球的概率；（2）如果前两次都取得红球，求球都是甲盒的球的概率8、甲、乙、丙三人进行比赛，规定甲、乙两人先比，胜者与丙比，依此循环，直到一人连胜两次为止，此人即为冠军，假定比赛双方取胜的概率都是1/2，求各人得冠军的概率。1、解：一般不能同时成立，相互独立、互不相容和互为对立事件是概率论中三个不同的非常重要的概念：A与B互不相容（1）A与B互为对立事件且（2）A与B相互独立（3）关系（i）比较（1）与

4、（2）可见，若A与B互为对立事件，则A与B一定互不相容，反之，却不一定成立。（ii）当P（A）>0,且P(B)>0,由(3)知,P(AB)>0,当然,因此当P(A)>0且P(B)>0时,互不相容一定不相互独立,反之,若相互独立,则一定相容,即当P(A)>0且P(B)>0时,相互独立与互不相容不能同时成立,只有当P(A)与P(B)之中至少有一个为0时,才有可能既互不相容又相互独立,设P(A)=0,B为任意一事件,则有P(AB)=0=P(A)P(B),即A事件与任一事件B都是独立的,但是有P(AB)=0是不能推出。（iii）互为对立事件与相互独立的关系和（ii）相同，互为对立事件与相互

5、独立一般不能同时成立。2、解：不妨设甲盒已空而乙盒还有r根火柴，因为是随机抽取，可知这时必已取过2n-r次，每次取甲、乙盒的概率均为1/2，而在2n-r次中必定是n次取了甲盒的，n-r次取了乙盒的。最后第2n-r+1次必定是取甲盒的，否则不知其为空盒，故概率为=同理，最后乙盒空而甲盒剩r根的概率为=故所求概率为3、解：对于新生产的每台仪器，引进事件A={仪器需进一步调试}，B={仪器能出场}则={仪器能直接出场}，={仪器经调试能出厂}由题意知，故现将所生产的几台仪器能否出厂的检验过程看成n重贝努里试验，一台仪器不能出厂的概率为，因此（1）全部能出厂的概率：（2）其中恰好有两件不能

6、出厂的概率：（3）其中至少有两件不能出厂的概率：3、解：={报名表是第i区考生的}（i=1，2，3）={第j次抽到的报名表是男生表}，（j=1，2）则有，（1）（2）由全概率公式，3、证：以表示事件“A在第第k次试验中发生”，则，在前n次试验中A都不发生的概率为于是在前n次独立试验中，A至少发生一次的概率为：即，独立地连续重复做试验E时，不论P如何小，A迟早会发生的概率为1。6、解：（1）令A={取得一个红球}{从第i个盒中取出一个红球}，i=1，2于是，，，，由全概率公式+=（2）7、解：设={第i次取得红球}（i=1，2，3），={第j次掷硬币出现正面}（j=1，2，3）易见即

7、为“第j次从甲盒中抽球”依题意知（1）求（2）a)如将“掷一次硬币，再由硬币出现的结果从相应的盒中抽球”视作一次试验，那么每次试验是可重复的，而且是相互独立的，所以它们的结果是相互独立的，且，故由全概率公式可得=（2）由条件概率公式的定义知由于两次试验是独立的、重复的，故与相互独立，且1、设在每局比赛中A博彩通表示甲胜，B表示乙胜，C表示丙胜则甲胜为：因A,B,C相互独立,故P{甲得冠军}===同理P{乙得冠军}P{丙得冠军}