特征函数在极限理论中的应用

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1、1.集合列的特征函数1.1集合E的特征函数定义：对于X中的子集E，作=称：是定义在X上的集合E的特征函数。由定义知，特征函数在一定意义上作为集合E的代表。借助特征函数，集列的极限运算可转换特征函数的相应运算。1.2定理：对任意的集合列，有=，=，集列收敛的充要条件是它的特征函数列收敛，且=定理说明了集列取（上、下）极限的运算与求特征函数的运算是可交换运算的次序。集列收敛性与数列收敛性等价。证明：由特征函数的定义，=1或0，，设=1有无限个，使得=1，有无限个，使得，，=1（*1），设=0有无限个

2、，使得=0有无限个，使得，，=0（*2）由（1）（2）式，得证。2迭代数列收敛性与特征函数2.1.定义：设=在区间I上有定义，数列满足迭代关系：=（n=1,2，……）（*3）若存在自然数N，使得当n>N时恒有I成立，则称F（x）和f（x）分别为迭代数列（*3）在区间I上的特征函数和迭代函数，而迭代数列（*3）称为F(x)在区间I上的生成迭代数列。引理：设f（x）是在区间I上有定义的单调函数，是I的内点。若存在，则f（x）在处连续。证明：不妨设=A，f（x）在区间I上单调增加。故当x<时，<，则A

3、=，当>时，>,则A=。因此=A=，故在处连续。定理1：设=x-是迭代数列（*3）在区间I上连续的特征函数，且在I上单调增加。则若I=[a,b>且F（a）=0，则存在且等于a，若I=,中尖括号一侧的端点可以是实数，也可以是-或+；为实数是可以包含端点，也可以不包含端点。证明：（i）由特征函数和极限的定义，不妨设对一切自然数n，迭代数列（*3）恒有I=[a,b>,则有下界。再用反证法证明在I上单调减少：若存在自然

4、数使得<即<,则=-<0.因为=0，所以<。这与在I上的单调增加矛盾。故数列在I上单调减少有下界，即存在。在迭代数列（*3）中令，可得x=。由题设可得=x-=0在I上有唯一实根，于是由=a-=0得x=a，故=a。（ii）类似地可以证明数列在I=上的特征函数，和在I上单调增加且存在I的内点使得=0，则存在且等于证明：不妨设对一切自然数n，迭代数列（*3）恒有，记=.由题设及引理得在和上均单

5、调增加且连续。若对有=，则由在I上单调增加有==，一般地由数学归纳法易证=（n=1,2，……）；若对有=，类似地可以证明（n=1,2，……）。所以是迭代数列（*3）在或上的特征函数。故由定理1，存在且等于。利用上述定理，可以把迭代数列收敛性的证明和求极限的问题转化为求其特征函数、迭代函数单增区间和特征函数零点的问题，从而把判断函数单调性和求函数零点的一些方法应用到迭代数列的求解中，简化极限运算。这种方法解题的一般步奏是：（1）求出函数=x-的单增区间（或和公共的单增区间）；（2）求出方程=0在单

6、增区间的根；（3）判断是迭代函数列（1）在单增区间上的特征函数；（4）判断极限存在并得出极限。例1：设>0,=(n=1,2,……；00（x>0）且=0.当>0时，恒有=>0（n=1,2，……），故为迭代数列在单增区间[0,+)上连续的特征函数。于是由定理1可得存在且等于0.例2：设数列满足迭代关系=（n=1,2，……；a>0），证明存在并求此极限。证明：由数学归纳法和均值定理可知，当时有（n=2,3，……）；当时有（n=2,3，……）。所以

7、是分别在区间和上连续的特征函数。由F’=得在和上单调增加。又因为解得。所以由定理1得的极限存在且当时，；当时，。同理可证数列：（n=1,2，……；a>0）的极限存在且。例3：设数列满足迭代关系（n=1,2，……；，），证明：对任意的初值，存在并求此极限。证明：对任意的，有（n=2,3，……），因此F（x）=是在区间上的特征函数。又当时，（等号仅当时成立），故和在单调增加，且。由定理2可知的极限存在且等于0.同理可证明（n=1,2，……；）的极限存在且，其中是的根。3.极限定理证明的特征函数法李亚

8、普诺夫提出了一种以特征函数为基础的思想证明了中心极限定理，后来的发展说明了李亚普诺夫的方法在证明最为多种多样的极限定理时，是十分有效的，这决定了它的发展和广泛应用。3.1分布函数与特征函数对应的连续性定理1：设是分布函数序列：，，而是相应的特征函数序列：，（1）如果，其中是某一分布函数，则，其中是的特征函数。（2）如果对于每个存在极限，而函数在连续，则是某一概率分布的特征函数，且注：设……是随机变量，且,则称随机变量……依分布收敛于，并记作定理时，常认为表达式.这一记号很直观（是distribu