历年卓越联盟真题集

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1、赣峡鹭园荷香流溢2013华南理工大学2009年保送生、自主招生选拔试题《理科数学》试题A一.选择题1)已知复数,且的幅角主值是,则满足的的幅角主值的取值范围是()A、B、C、D、2)是函数在单调的()A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件3)已知,,则的最小值为()A、B、C、D、4)在的展开式中,的系数为()A、B、C、D、5)已知圆,点是圆内一点。过点的圆的最短的弦在直线上,直线的方程为,那么()A、,且与圆相交B、,且与圆相切C、,且与圆相离D、,且与圆相离6)已知,函数的值域为()A、B、C、D、7)在三角形中,向量,则下列

2、结论一定成立的是()A、向量一定与向量平行B、向量一定与向量平行C、向量一定与向量平行D、向量一定与向量平行25赣峡鹭园荷香流溢20138)已知是椭圆的半焦距,则的取值范围是()A、B、C、D、二.填空题9)已知是某球面上不共面的四点,且,,,则此球的表面积等于。10)已知双曲线右焦点为,右准线与两条渐近线分别交于两点。若是直角三角形,则双曲线的离心率。11)已知函数是定义在上的增函数,且满足,,则不等式的解集为。12)已知,则的最大值为。13)甲、乙两人下围棋,下三盘棋,甲平均能赢二盘,某日,甲、乙进行五打三胜制比赛,那么甲胜出的概率为。三.设三角形三个顶点的坐标分别为,

3、分别为上的点,是上一点,且1)求点的横坐标的取值范围;2)求点的轨迹方程。四.已知函数是定义在的单调增函数,要使得对于一切的实数不等式恒成立,求实数的取值范围。五.如图,在正三棱锥中,侧棱长为,底面边长为,为的中点,于。1)求证:为异面直线与的公垂线;3)求点到面的距离。六.已知,设,2)求异面直线与的距离;,25赣峡鹭园荷香流溢20131)证明数列是等比数列;2)求数列的通项;3)设,,证明:当时有。答案1.A2.A3.C4.A5.D6.无答案7.C8.D9.6π10.11.(3,]12.7+213.14.(1)x∈[,3](2)=60x+80y-100,x∈[,3]20

4、11卓越联盟自主招生数学(1)向量a,b均为非零向量,(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a,b的夹角为(A)(B)(C)(D)(2)已知sin2(a+g)=nsin2b,则2等于(A)(B)(C)(D)(3)在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E为棱AA1的中点,F是棱A1B1上的点,且A1F:FB1=1:3,则异面直线EF与BC1所成角的正弦值为(A)(B)(C)(D)(4)i为虚数单位,设复数z满足

5、z

6、=1,则的最大值为(A)-1(B)2-(C)+1(D)2+(5)已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,△ABC三个顶点都在抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点

7、,若BC边所在直线的方程为4x+y-20=0,则抛物线方程为(A)y2=16x(B)y2=8x(C)y2=-16x(D)y2=-8x(6)在三棱锥ABC—A1B1C1中,底面边长与侧棱长均等于2,且E为CC1的中点,则点C1到平面AB1E的距离为(A)(B)(C)(D)25赣峡鹭园荷香流溢2013(7)若关于x的方程=kx2有四个不同的实数解,则k的取值范围为()(A)(0,1)(B)(,1)(C)(,+∞)(D)(1,+∞)(8)如图,△ABC内接于⊙O,过BC中点D作平行于AC的直线l,l交AB于E,交⊙O于G、F,交⊙O在A点的切线于P,若PE=3,ED=2,EF=3

8、,则PA的长为(A)(B)(C)(D)2(9)数列{an}共有11项,a1=0,a11=4,且

9、ak+1-ak

10、=1,k=1,2,…,10.满足这种条件的不同数列的个数为()(A)100(B)120(C)140(D)160(10)设s是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为的旋转,t表示坐标平面关于y轴的镜面反射.用ts表示变换的复合,先做t,再做s,用sk表示连续k次的变换,则sts2ts3ts4是()(A)s4(B)s5(C)s2t(D)ts2(11)设数列{an}满足a1=a,a2=b,2an+2=an+1+an.(Ⅰ)设bn=an+1-an,证明:若a≠b,则{bn}是

11、等比数列;(Ⅱ)若(a1+a2+…+an)=4,求a,b的值.(12)在△ABC中,AB=2AC,AD是A的角平分线,且AD=kAC.(Ⅰ)求k的取值范围;(Ⅱ)若S△ABC=1,问k为何值时,BC最短?(13)已知椭圆的两个焦点为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆与直线y=x-相切.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过F1作两条互相垂直的直线l1,l2,与椭圆分别交于P,Q及M,N,求四边形PMQN面积的最大值与最小值.(14)一袋中有a个白球和b个黑球.从中任取一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则

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