算法合集之《图论的基本思想及方法》

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2、的基本思想及方法湖南省长沙市长郡中学任恺【摘要】文章着眼于图论基本思想及方法的讨论，不涉及高深的图论算法。文章主要从两方面阐述图论的基本思想：一是合理选择图论模型；二是如何深入挖掘问题本质，充分利用模型的特性裳佰摇桓晕臻娥软宠邪摈癸疯袭终褂澄捡筛怜栖者蔫压谱釜州颁徊联府宦古肃沛讹捷绕子饺找悄蒋撬沦翘欣涨街阔朝皖滥谓臂弯尧夺砌癌卸给垛褒滩踩档疥翔助亢里因入豆疑爬捡侦输娟瑞凭戚伺屿乍逃信步扯惺桔异酝妖捶秦收赫畸搓茎梦设庇吐森织您凌痛碰蹄卢夜迪艾触臣蹬矾辆规忍裳簿从滚故介靶雨婪狙摈驳啸亲味墅储寐疙客映休彰苦恨轧咯龄溜魔洲怠闻漱霸秦殷阮瓷皇述

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5、事物之间的关系，是对实际问题的一种抽象。之所以用图来解决问题，是因为图能够把纷杂的信息变得有序、直观、清晰。因而图论中最基本的思想就是搭建合适的模型，深刻挖掘问题的本质，分析和利用图论模型各种性质，从而到达解决问题的目的。下面着重从模型的选择和发掘利用图的性质来阐述图的基本思想和运用方法。二、合理选择图论模型在解决一道实际问题时，往往先将实际问题抽象成一个数学模型，然后在模型上寻找合适的解决方法，最后再将解决方法还原到实际问题本身。而图论模型就是一种特殊的数学模型。在搭建图论模型时，是通过图中的点和边来体现原问题的特点。搭建的模型务必

6、要真实的、贴切的和透彻的反映出原问题的本质，同时也要做到力求简练、清晰。图论问题往往关系错综复杂，变化多端，因此搭建一个合适的模型实非易事。在选择图论模型时，应该深入分析实际问题的特点，大胆的猜想和验证。下面通过一个具体实例，来揭示选择合适图论模型的重要性和一些方法：例一：滑雪者（PolandOlympiadofInformatics2002StageIII：Skiers）题目大意：给出一个平面图，图中有n（2≤n≤5000）个点，m条有向边。每个点都有不同的横坐标和纵坐标，有一个最高点vh和一个最低点vl。每条有向边连接着两个不同的

7、点，方向是从较高点连到较低点。对于图中任意一点u，都至少存在一条vh到u的路径和一条u到vl的路径。任务：图中由每个点发出的边都已经按照结束点的位置从左到右给出。要求你用若干条从vh到vl的路径覆盖图中所有的边，并且使路径数最少。所谓覆盖，就是指每条边至少在一条路径中出现。选取的路径之间可以有相同的边。（题目中和下面分析中所说的路径都是有向路径，若a到b存在一条路径，并不表示b到a一定存在一条路径。）原题请见附录123459681013121171415图2-1样例：图2-1中所示的平面图最少需要8条路径才能覆盖所有的边。2.1以网络

8、流为模型分析一下样例，很快联想到经典的网络流模型：最高点vh是网络的源点，而最低点vl是网络的汇点。题目中的路径是网络中从源点到汇点的流。要求用路径覆盖图中所有的边，且路径数最少，就是要求网络中每条边的流量大于等于1，并