“求两线段长度值和最小”问题全解析

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1、构建轴对称模型求线段和的最小值近几年来，最小值问题成为中考命题的热点，其中有些问题的解决常用构建轴对称模型的方法。考查知识点----“两点之间线段最短”，，一、在等边三角形中探求线段和的最小值例1（2010山东滨州）如图所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为        .模型求解：此题相当于在直线AD的同侧有两点C、E ，在直线AD上有一个动点M，在AD上确定点M，使得CM+EM的值最小。 二、在四边形背景下探求线段和的最小值1.在等腰梯形中探

2、求线段和的最小值例2　如图，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为             ．解：分析：根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点D，这是解题的一个关键点．其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键． 模型求解：此题相当于在直线EF的同侧有两点A、B，在直线EF上有一个动点P，在EF上确定点P，使得PA+PB的值最小。 2.在菱形中探求线段和的最小值例3　如图菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上

3、的一个动点，则PE+PB的最小值为           ．解分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点． 模型求解：此题相当于在直线AC的同侧有两点B、E ，在直线AC上有一个动点P，在AC上确定点P，使得PB+PE的值最小。 3.在正方形中探求线段和的最小值 例4　如图所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为           ．分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点． 模型求解：此题相当于在直线AC的同侧

4、有两点D、M ，在直线AD上有一个动点N，在AC上确定点N，使得DN+MN的值最小。 跟踪练习1（2009达州）如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为                   cm．（结果不取近似值）．分析：在这里△PBQ周长等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题．因为题目中有一个动点P，两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以

5、解答时可以用对称法． 解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B与点D关于AC对称，连接DQ，交AC于点P，连接PB．所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt△CDQ中，DQ==，所以△PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ=+1．故答案为+1．ADEPBC2、(2009年抚顺市)如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（）A．B．C．3D．3、（本小题10分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上

6、任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.（Ⅰ）求证：△AMB≌△ENB；（Ⅱ）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；（Ⅲ）当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长. 规律总结：把三条线段转移到同一条直线上就好了！答案（Ⅱ）①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小②当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长（Ⅲ）正方形的边长为.三、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值 例5（2010山东济宁）如图9，正

7、比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1. （1）求反比例函数的解析式； （2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小. 答案(1) y=．(2)点P在（，0）时，PA+PB的值最小． 四、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值 例6（2010年天津）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边O

8、B的中点. （1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标； （2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.分析：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，并很好的