向量与张量的代数运算和分析运算

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1、本章介绍向量与张量的代数运算和分析运算，作为后面章节的数学准备。第一章矢量与张量§1.矢量代数 1.1向量的定义1.2 Einstein约定求和1.3 eijk与dij之间的关系§2.张量代数2.1张量的定义2.2张量的运算2.3张量与矢量之间的运算2.4张量与张量之间的运算§3.矢量分析3.1 Hamilton算子3.2无旋场与标量势3.3 无散场与矢量势3.4 Helmholtz分解§4.张量分析4.1 矢量的梯度4.2张量的散度和旋度4.3 ▽(A·α)等公式4.4 两个有关左右旋度的展开式4.5 张量的Gauss公式和Stokes公式 §1向量

2、代数　1.1  向量的定义 从几何观点来看，向量定义为有向线段。在三维欧氏空间中，建立直角坐标系，沿坐标方向的单位向量为，即其标架为。设从坐标原点至点的向量为，它在所述坐标系中的坐标为，那么可写成　(1.1)　设在中有另一个坐标系，其标架为，它与之间的关系为（1.2）由于单位向量之间互相正交，之间也互相正交，因此矩阵(1.3)　将是正交矩阵，即有，其中上标表示转置。从(1.2)可反解出　（1.4）　向量在新坐标系中的分解记为　(1.5)将(1.4)代入(1.1),得到　(1.6)　公式(1.6)是向量的新坐标和旧坐标之间的关系，它是坐标变换系数的一次齐

3、次式。这个式子应该是有向线段的几何客观性质（如：长度、角度）不随坐标的人为主观选取而变化的一种代数反映。可以说，公式(1.6)表示了向量在坐标变换下的不变性。这样，我们就从向量的几何定义，得到了向量的代数定义：一个有序数组，如果在坐标变换下为关于变换系数由（1.6）所示的一次齐次式，则称之为向量。   1.2 Einstein约定求和用求和号，可将(1.1)写成(1.7)所谓Einstein约定求和就是略去求和式中的求和号，例如(1.7)可写成                 (1.8)在此规则中两个相同指标就表示求和，而不管指标是什么字母，例如(1.

4、8)也可写成(1.9)有时亦称求和的指标为“哑指标”。本书以后如无相反的说明，相同的英文指标总表示从1至3求和。按约定求和规则，(1.2)、(1.4)可写成(1.10)(1.11)将(1.11)代入(1.8)，得　(1.12)　由此就得到了(1.6)式的约定求和写法， (1.13)　今引入Kronecker记号，　(1.14)　例如。应用，单位向量之间的内积可写成 (1.15) 向量和向量之间的内积可写成　(1.16)　上式中最后一个等号是因为只有时，才不等于零，在这里的作用似乎是将换成了，因而也称为“换标记号”。再引入Levi-Civita记号，　(

5、1.17)　其中分别取1，2，3中的某一个值。例如，，，…。利用，向量之间的外积可写为(1.18)(1.19)1.3   与之间的关系Kronecker记号与Levi-Civita记号之间有如下关系　(1.20)证明1穷举法，先列出所有可能的81种取值情况，　情形123┆111111121113┆┆┆┆ 然后逐个情形证明,例如，情形1，，故此情形(1.20)成立，…。 证明2我们有双重外积公式(1.21)将代入(1.21)左右两边，得到将上述两式代入(1.21)两边，移项，得(1.22)由于的任意性，从(1.22)即得欲证之(1.20)式。证明3利用L

6、agrange公式(1.23)按证明2类似的步骤，从(1.23)可导出(1.20)。　证明4从(1.18)和向量混合乘积的行列式表示，有(1.24)其中分别为向量在中的坐标。按行列式的乘积法则，有(1.25)其中第二个等式应用了等关系。将(1.25)最后一个行列式展开，得(1.26)注意到，以及换标记号和的意义，从（1.26）即得(1.20)。证毕。§2张量代数  2.1   张量的定义　设(2.1)其中称为并矢基,它们共有9个,(2.2)在坐标变换(1.11)之下,(2.1)成为(2.3)于是(2.4)从(2.4)可引出张量的定义：一个二阶有序数组，

7、在坐标变换下，关于变换系数为二次齐次式，则称为张量，也记作。为其指标记号，为其整体记号。张量在并矢基下的9个分量，有一个矩阵与之对应，记作(2.5)同一个张量在另一组并矢基下所对应的矩阵为，(2.6)按(2.4)可知，张量在不同坐标系下所对应的矩阵服从矩阵的合同变换，(2.7)其中为坐标变换矩阵（1.3）。 附注：上述张量的定义可以推广：一个阶有序数组,在坐标变换(1.10)下,若服从的次齐次式，(2.8)则称之为阶张量。按照这种定义，标量可认为是零阶张量，向量可认为是一阶张量，(２.1）所述的张量为二阶张量，也可证明Levi-Civita记号为三阶张

8、量。(2.8)式中的下标和取值范围也可不必限于从１到３，也可从１到，那么(2.8)式所定义的张