2014届步步高大一轮复习讲义9.7

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1、§9.7　双曲线2014高考会这样考　1.考查双曲线的定义、标准方程和几何性质；2.考查直线与双曲线的位置关系，考查数形结合思想的应用．复习备考要这样做　1.熟练掌握双曲线的定义和标准方程，理解双曲线的基本量对图形、性质的影响；2.理解数形结合思想，掌握解决直线与双曲线问题的通法．1．双曲线的概念把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于

2、F1F2

3、)的点的集合叫做双曲线，这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．集合P＝{M

4、

5、

6、MF1

7、－

8、MF2

9、

10、＝2a}，

11、F1F2

12、＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：(1)当a

13、迹是双曲线；(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；(3)当a>c时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴　对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长

14、A1A2

15、＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长

16、B1B2

17、＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝

18、a2＋b2(c>a>0，c>b>0)[难点正本　疑点清源]1．双曲线的定义用代数式表示为

19、

20、MF1

21、－

22、MF2

23、

24、＝2a，其中2a<

25、F1F2

26、，这里要注意两点：(1)距离之差的绝对值．(2)2a<

27、F1F2

28、.这两点与椭圆的定义有本质的不同．2．渐近线与离心率－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为＝＝＝.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．1．(2012·天津)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝________，b＝________.答案　1　2解析　与双曲线－＝

29、1有共同渐近线的双曲线的方程可设为－＝λ，即－＝1.由题意知c＝，则4λ＋16λ＝5⇒λ＝，则a2＝1，b2＝4.又a>0，b>0，故a＝1，b＝2.2．(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．答案　2解析　∵c2＝m＋m2＋4，∴e2＝＝＝5，∴m2－4m＋4＝0，∴m＝2.3．(2012·辽宁)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则

30、PF1

31、＋

32、PF2

33、的值为________．答案　2解析　设P在双曲线的右支上，

34、PF1

35、＝2＋x，

36、PF2

37、＝x(x>0)，

38、因为PF1⊥PF2，所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，所以x＝－1，x＋2＝＋1，所以

39、PF2

40、＋

41、PF1

42、＝2.4．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)A.B．5C.D．2答案　A解析　焦点(c,0)到渐近线y＝x的距离为＝b，则由题意知b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2，∴离心率e＝＝.5．(2012·课标全国)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，

43、AB

44、＝4，则C的实轴长为(　　)A.B．2C．4D．8答案　C解析　设C：－＝1.∵抛物线y2＝1

45、6x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，∴

46、AB

47、＝2＝4，∴a＝2，∴2a＝4.∴C的实轴长为4.题型一　求双曲线的标准方程例1　(1)(2011·山东)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．(2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程为__________．思维启迪：设双曲线方程为－＝1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程；也可根据双曲线的定义直接确定a、b、c

48、.答案　(1)－＝1　(2)－＝1解析　(1)椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，离心率为e＝.由于双曲线－＝1与椭圆＋＝1有相同的焦点，因此a2＋b2＝7.又双曲线的离心率e＝＝，所以＝，所以a＝2，b2＝c2－a2＝3，故双曲线的方程为－＝1.(2)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k，将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为－＝1.探究提高　求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，