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1、任意纬线昼夜长短计算探讨杜志忠广东省东莞市厚街中学（523962）某地的昼夜长短决定于两个因素：当地的地理纬度及当时太阳直射点所在的地理纬度（太阳赤纬）。如下面所示昼夜半球示意图中，直射点所在纬线为Q`K`（地理纬度为δ），计算纬线Q``K``（地理纬度为θ）的昼夜长短。若要计算纬线Q``K``上的昼夜长短，只需求出其半昼长及半夜长，问题便转化为计算其半昼弧和半夜弧长度。如图所示大圆NKS中，弦QK、Q`K`、Q``K``为各纬线所在平面与大圆NKS所在面的交线，它们与地轴NS分别相交于点O（球心）、O`、O``，与ZZ`（晨昏线所在平面与大圆NKS
2、所在面的交线）分别相交于点O、P`、P``。由相应地理知识可知，∠KOK`是太阳直射点所在纬线Q`K`之纬度角，值为δ。因∠KOK`与∠NOK`互余，而∠ZON亦与∠NOK`互余，故∠ZON=∠KOK`=δ。由于弦QK与弦Q``K``互相平行，所以∠OK``O``与∠KOK``互为内错角，而∠KOK``为纬线Q``K``之纬度角，故∠OK``O``=∠KOK``=θ。∵直角三角形OO``K``中，OO``=O``K``tg∠OK``O``=O``K``tgθ；直角三角形OO``P``中，O``P``=OO``tg∠O``OP``=OO``tg∠ZON
3、=OO``tgδ；∴O``P``=O``K``tgθtgδ（①式）在纬线Q``K``上的昼夜示意图中，为半昼弧，为半夜弧，半昼弧与半夜弧之差为，∠△t为所对之圆心角。∵直角三角形O``P``M``中，∠O``M``P``=∠△t，O``M``=O``K``；∴O``P``=O``M``sin∠O``M``P``=O``K``sin∠△t（②式）∴O``K``sin∠△t=O``K``tgθtgδ（由①、②两式可得）则sin∠△t=tgθtgδ∠△t=arcsin(tgθtgδ)若以时角（即弧所对圆心角）来表示弧长大小，则每15°弧长所跨时间为1小时（
4、24小时/360°=1小时/15°）。在任一纬线，总有四分之一纬线之弧长跨时间为90°÷15°=6小时，即弧长所跨时间为6小时。由于弧长为半昼弧与半夜弧之差，所以弧长（时角为∠△t）所跨时间长度即为半昼长与半夜长之差，记着△T。则有：△T=[arcsin(tgθtgδ)]/15°（θ、δ之符号以北半球为正，南半球为负。）当△T之值为正时，昼长大于夜长，昼长夜短。半昼长为6+△T→昼长为（6+△T）×2；半夜长为6-△T→夜长为（6-△T）×2。当△T之值为负时，昼长小于夜长，昼短夜长。半昼长为6+△T→昼长为（6+△T）×2；半夜长为6-△T→夜长为
5、（6-△T）×2。※讨论一：当δ=0°，即直射点位于赤道上时，△T=[arcsin(tgθtgδ)]/15°=[arcsin(tgθtg0°)]/15°=0，无论θ为何值，△T皆为零。故此时全球昼夜平分。当δ≠0°，即直射点位于非赤道的其它纬线上时，在南北半球之中，总有一半球δ与θ符号相同，△T为正值，昼长夜短；而另一半球δ与θ符号相异，△T为负值，昼短夜长。※讨论二：当θ=0°时，即求赤道上的昼夜长短，△T=[arcsin(tgθtgδ)]/15°=[arcsin(tg0°tgδ)]/15°=0无论δ为何值，△T皆为零。故无论太阳直射点落在何处，赤
6、道上总是昼夜平分。※讨论三：I、当θ=90°-
7、δ
8、（θ为正值，表示所求纬线在北半球，纬度为北纬90°-
9、δ
10、）时，△T=[arcsin(tgθtgδ)]/15°={arcsin[tg（90°-
11、δ
12、）tgδ]}/15°=[arcsin(ctg
13、δ
14、tgδ)]/15°δ为正（表示太阳直射点在北半球），△T=[arcsin(ctgδtgδ)]/15°=90°/15°=6（此时，半昼长为6+6=12小时，昼长为24小时，即为极昼。）δ为负（表示太阳直射点在南半球），△T={arcsin[(-ctgδ)tgδ]}/15°=-90°/15°=-6（此时，半昼
15、长为6+(-6)=0小时，昼长为0小时，即为极夜。）II、当θ=
16、δ
17、-90°（θ为负值，表示所求纬线在南半球，纬度为南纬90°-
18、δ
19、）时，△T=[arcsin(tgθtgδ)]/15°={arcsin[tg(
20、δ
21、-90°)tgδ]}/15°={arcsin[(-ctg
22、δ
23、)tgδ]}/15°δ为正（表示太阳直射点在北半球），△T={arcsin[(-ctgδ)tgδ]}/15°=-90°/15°=-6（此时，半昼长为6+(-6)=0小时，昼长为0小时，即为极夜。）δ为负（表示太阳直射点在南半球），△T={arcsin{[-(-ctgδ)]tg
24、δ}}/15°=90°/15°=6（此时，半昼长为6+6=12小时，昼长为24小时，即为极昼。）归纳I、II
